I risultati esposti di seguito si desumono facilmente da quanto illustrato in precedenza.
Perimetro del triangolo n-esimo:
P(n) = P*(1 + q^2)^[(n-1)/2]
Dove P = a + b + c (perimetro del triangolo base).
Area del triangolo n-esimo:
A(n) = A*(1 + q^2)^(n-1)
Dove A = ab/2 (area del triangolo base).
Sunday, January 23, 2011
Magia matematica (25.2). Composizione di triangoli rettangoli
I valori di a(n), b(n) e c(n) hanno un andamento esponenziale e costituiscono i termini di una progressione geometrica di cui riporto nel seguito fattore di scala (F) e ragione (R):
F(a(n)) = a/(1 + q^2)^0.5
F(b(n)) = aq/(1 + q^2)^0.5
F(c(n)) = a
R(a(n)) = R(b(n)) = R(c(n)) = (1 + q^2)^0.5
Si noti come i fattori di scala delle tre progressioni soddisfano il Teorema di Pitagora:
[F(c(n))]^2 = [F(a(n))]^2 + [F(b(n))]^2
F(a(n)) = a/(1 + q^2)^0.5
F(b(n)) = aq/(1 + q^2)^0.5
F(c(n)) = a
R(a(n)) = R(b(n)) = R(c(n)) = (1 + q^2)^0.5
Si noti come i fattori di scala delle tre progressioni soddisfano il Teorema di Pitagora:
[F(c(n))]^2 = [F(a(n))]^2 + [F(b(n))]^2
Magia matematica (25.1). Composizione di triangoli rettangoli
Sia dato un triangolo ABC rettangolo in B appoggiato al cateto AB che ne funge da base. Immaginiamo di costruire sull'ipotenusa AC un nuovo triangolo rettangolo, simile al precedente, e reiteriamo il processo indefinitamente.
Siano:
AB = a(1) = a
BC = b(1) = b
AC = c(1) = c
Ci chiediamo come è possibile esprimere i valori di a(n), b(n) e c(n) del triangolo n-esimo in funzione di a, b e c.
Osserviamo innanzitutto che la base del secondo triangolo è uguale all'ipotenusa del primo, che la base del terzo triangolo è uguale all'ipotenusa del secondo, e così via; vale dunque la relazione:
a(n) = c(n-1) [1]
In secondo luogo, data la similitudine costruttiva, si può dire che:
b(n)/a(n) = b/a
Da cui:
b(n) = a(n)*b/a
Che, in base alla [1], diventa:
b(n) = c(n-1)*b/a [2]
Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo di partenza sappiamo che:
c^2 = a^2 + b^2
Passando al secondo triangolo vale:
[c(2)]^2 = [a(2)]^2 + [b(2)]^2
E sostituendo la [1] e la [2]:
[c(2)]^2 = c^2 + [c^2]*(b/a)^2 = (a^2 + b^2)*[1 + (b/a)^2]
Per il terzo triangolo si ha:
Siano:
AB = a(1) = a
BC = b(1) = b
AC = c(1) = c
Ci chiediamo come è possibile esprimere i valori di a(n), b(n) e c(n) del triangolo n-esimo in funzione di a, b e c.
Osserviamo innanzitutto che la base del secondo triangolo è uguale all'ipotenusa del primo, che la base del terzo triangolo è uguale all'ipotenusa del secondo, e così via; vale dunque la relazione:
a(n) = c(n-1) [1]
In secondo luogo, data la similitudine costruttiva, si può dire che:
b(n)/a(n) = b/a
Da cui:
b(n) = a(n)*b/a
Che, in base alla [1], diventa:
b(n) = c(n-1)*b/a [2]
Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo di partenza sappiamo che:
c^2 = a^2 + b^2
Passando al secondo triangolo vale:
[c(2)]^2 = [a(2)]^2 + [b(2)]^2
E sostituendo la [1] e la [2]:
[c(2)]^2 = c^2 + [c^2]*(b/a)^2 = (a^2 + b^2)*[1 + (b/a)^2]
Per il terzo triangolo si ha:
[c(3)]^2 = [a(3)]^2 + [b(3)]^2
Sostituendo la [1] e la [2] si ottiene:
[c(3)]^2 = [c(2)]^2 + ([c(2)]^2)*(b/a)^2
E utilizzando il valore di [c(2)]^2 precedentemente trovato si perviene a:
[c(3)]^2 = (a^2 + b^2)*[1 + (b/a)^2]^2
Se proseguiamo in maniera analoga non è difficile derivare il seguente risultato generale:
[c(n)]^2 = (a^2 + b^2)*[1 + (b/a)^2]^(n-1)
O, equivalentemente:
[c(n)]^2 = (a^2)*[1 + (b/a)^2]^n [3]
Infine, indicato per semplicità con q il rapporto b/a, la [3] si può anche scrivere come:
[c(n)]^2 = (a^2)*[1 + q^2]^n [4]
Da cui il valore di c(n):
c(n) = a*(1 + q^2)^(n/2) [5]
Noto c(n), per sostituzione nelle [1] e [2] si possono ora calcolare i valori di a(n) e b(n):
a(n) = a*(1 + q^2)^[(n-1)/2] [6]
b(n) = aq*(1 + q^2)^[(n-1)/2] [7]
Tuesday, January 11, 2011
Il Teorema di Descartes e le Circonferenze di Soddy
Cercate questi argomenti su Wikipedia e poi ditemi se anche voi, come me, non siete terribilmente incazzati perché nessuno vi ha insegnato queste cose al liceo!
Non per le applicazioni, ma per l'emozione della scoperta
"Non si lavora per le applicazioni pratiche, ma per l'emozione della scoperta. L'emozione è la vera molla dell'impresa scientifica. Se non capite questo, non avete capito niente".
[Richard Feynman]
[Richard Feynman]
Perché il medico condotto era detto così
Il termine condotto fa riferimento al cosiddetto "contratto di condotta", parola, quest'ultima, derivata dall'antico significato di "condurre" ovvero stipendiare. Questo tipo di contratto vincolava i medici all'assistenza continua - diurna e notturna - di una comunità, e prevedeva pochissimi giorni all'anno di riposo (e l'obbligo, per quel periodo, di trovare a proprie spese un sostituto adeguato).
Monday, January 10, 2011
L'Eletto (Le Concile de Pierre)
Ho visto ieri sera su RAI4 L'Eletto (2006, titolo originale Le Concile de Pierre), film di Guillaume Nicloux, nato dall'adattamento del romanzo omonimo di Jean-Christophe Grangé (lo stesso de I Fiumi di Porpora e L'Impero dei Lupi). Tra gli interpreti principali: Monica Bellucci, Catherine Deneuve, Elsa Zylberstein e Sami Bouajila.
Stroncato dalla critica italiota (evidentemente non avvezza ad ambientazioni e ritmi extra-mediterranei), è in realtà un lavoro che si mantiene su buoni livelli per i primi 4/5 del suo svolgimento. Peccato per il finale, insipido e da dimenticare.
Stroncato dalla critica italiota (evidentemente non avvezza ad ambientazioni e ritmi extra-mediterranei), è in realtà un lavoro che si mantiene su buoni livelli per i primi 4/5 del suo svolgimento. Peccato per il finale, insipido e da dimenticare.
Sunday, January 09, 2011
La matematica secondo Bertrand Russell
"La matematica può essere definita la materia in cui noi non sappiamo mai di che cosa stiamo parlando né se quello che stiamo dicendo è vero".
[Bertrand Russell]
[Bertrand Russell]
Georg HF Nesselmann, il primo a usare il termine Balti
Da Vikipedija (versione lituana di Wikipedia): Savo knygoje Die Sprache der alten Preussen (Berlynas, 1845) pirmą kartą panaudojo baltų terminą. Che tradotto significa: Nel suo libro Die Sprache der alten Preussen (Berlino, 1845) ha usato per la prima volta il termine Balti.
La storia della matematica e le trasformazioni sociali
"La storia della matematica non può essere separata dalla parallela trasformazione sociale, economica e tecnologica".
[Luis Radford]
[Luis Radford]
Una critica popinghiana alla classificazione algebrica di Georg HF Nesselmann
Ha osservato Popinga: bisogna però precisare che la classificazione del Nesselmann, che data al 1842, pur essendo ancora utilizzata a livello descrittivo, è stata criticata in più occasioni, perché non tiene conto né dell'uso di simboli nella matematica medievale indiana, né dell'algebra geometrica greca (che utilizzava le proprietà delle figure geometriche per rappresentare relazioni ed equazioni) né, soprattutto, dell'opera isolata di Diofanto di Alessandria, vissuto in epoca ellenistica, che utilizzò un simbolismo piuttosto complicato e incompleto (mancano i simboli per le operazioni e relazioni) costruito a partire dall'alfabeto greco. Inoltre l'uso isolato e non sistematico di simboli si ritrova già nelle opere di matematici del XIII e XIV secolo, come Giordano Numerario (morto nel 1237), il Fibonacci (circa 1170 - dopo il 1240) e Nicola di Oresme (1323? - 1382).
Le tre età (o fasi, o stadi) dell'algebra: retorica, sincopata, simbolica
Questa classificazione, divulgata dallo storico della matematica Florian Cajori (1859 - 1930) nel suo A History of Mathematical Notations del 1928-29, è stata sviluppata nel 1842 dal linguista tedesco Georg Heinrich Ferdinand Nesselmann (1811 - 1881).
Fase 1. Algebra retorica
È così detta in quanto, mancando i simboli, i problemi si esprimono a parole e le soluzioni sono frasi. Appartengono a questa prima fase gli scritti dei Babilonesi, degli Egiziani, delle scuole neo-platonica e neo-pitagorica.
Fase 2. Algebra sincopata
Appaiono le prime abbreviazioni: primariamente vengono ancora usate le parole, intercalando qua e là delle abbreviazioni per rendere più agili e spediti il calcolo e il ragionamento. Diofanto segna l'inizio di questa nuova fase.
Fase 3. Algebra simbolica
L'algebra si stacca completamente dalle parole e si serve di lettere e simboli per rappresentare quantità note e incognite, e di segni per indicare le operazioni. Il contributo essenziale in questa direzione si deve soprattutto al lavoro del grande algebrista François Viète (1540-1603).
Va detto che la classificazione sopra riportata, per quanto ancora diffusa, è oggi ritenuta in parzialmente superata e in ogni caso degna di revisione.
Questo articolo è stato possibile grazie alla sempre preziosa ispirazione di Popinga, con particolare riferimento al post Le tre algebre di Luca Pacioli del 27 Maggio 2010.
Fase 1. Algebra retorica
È così detta in quanto, mancando i simboli, i problemi si esprimono a parole e le soluzioni sono frasi. Appartengono a questa prima fase gli scritti dei Babilonesi, degli Egiziani, delle scuole neo-platonica e neo-pitagorica.
Fase 2. Algebra sincopata
Appaiono le prime abbreviazioni: primariamente vengono ancora usate le parole, intercalando qua e là delle abbreviazioni per rendere più agili e spediti il calcolo e il ragionamento. Diofanto segna l'inizio di questa nuova fase.
Fase 3. Algebra simbolica
L'algebra si stacca completamente dalle parole e si serve di lettere e simboli per rappresentare quantità note e incognite, e di segni per indicare le operazioni. Il contributo essenziale in questa direzione si deve soprattutto al lavoro del grande algebrista François Viète (1540-1603).
Va detto che la classificazione sopra riportata, per quanto ancora diffusa, è oggi ritenuta in parzialmente superata e in ogni caso degna di revisione.
Questo articolo è stato possibile grazie alla sempre preziosa ispirazione di Popinga, con particolare riferimento al post Le tre algebre di Luca Pacioli del 27 Maggio 2010.
Reazione a Catena (Chain Reaction)
Reazione a Catena (1996, USA, titolo originale Chain Reaction) è un film diretto da Andrew Davis e interpretato da Keanu Reeves, Morgan Freeman e Rachel Weisz. Se per due ore si fa tabula rasa di tutte le conoscenze scientifiche studiate al liceo, il film è quasi accettabile.
Sull'evoluzione dei linguaggi simbolici e algoritmici
Ha osservato Popinga: La storia delle matematiche è anche storia dell'evoluzione dei linguaggi simbolici e algoritmici che ne hanno accompagnato lo sviluppo.
An ode to the LASER
The LASER turns fifty this week,
An important event in history!
But who developed this amazing technique?
That's still kind of a mystery...
Was it Ted Maiman
Who built the first LASER?
Or was it Townes and Schawlow
Who wrote the seminal paper?
Was it Basov and Prokhorov
Who toiled in academic obscurity?
Or was it Gordon Gould
Who won the patents (eventually)?
Perhaps we should credit Einstein
Who had the key precognition
"A splendid light has dawned on me" he wrote
When he discovered stimulated emission.
Beautiful beams of light
Coherent in frequency and phase.
The public expected your biggest impact
To be Star Wars-like Death Rays.
Instead you are in our everyday lives
From bar codes to pointers to DVD drives
They say in Science is your biggest contribution
Shining a light on stars and molecular distributions.
But as all things cyber
Connect through optical fibers
Let us not forget:
Without the LASER, there'd be no Internet!
Il testo è apparso per la prima volta sul sito PHD Comics il 12 Maggio 2010, che - per pura coincidenza - corrisponde alla data del mio quarantesimo compleanno.
Rispetto alla versione originale ho cambiato laser in LASER e, come da tradizione inglese, ho usato la maiuscola per l'inizio di ogni riga.
Uno splendido riadattamento in Toscano è stato pubblicato da Popinga nel post Ode al Laser del 14 Maggio 2010 (Popinga stecca la traduzione di "eventually", ma questa gliela perdoniamo).
An important event in history!
But who developed this amazing technique?
That's still kind of a mystery...
Was it Ted Maiman
Who built the first LASER?
Or was it Townes and Schawlow
Who wrote the seminal paper?
Was it Basov and Prokhorov
Who toiled in academic obscurity?
Or was it Gordon Gould
Who won the patents (eventually)?
Perhaps we should credit Einstein
Who had the key precognition
"A splendid light has dawned on me" he wrote
When he discovered stimulated emission.
Beautiful beams of light
Coherent in frequency and phase.
The public expected your biggest impact
To be Star Wars-like Death Rays.
Instead you are in our everyday lives
From bar codes to pointers to DVD drives
They say in Science is your biggest contribution
Shining a light on stars and molecular distributions.
But as all things cyber
Connect through optical fibers
Let us not forget:
Without the LASER, there'd be no Internet!
Il testo è apparso per la prima volta sul sito PHD Comics il 12 Maggio 2010, che - per pura coincidenza - corrisponde alla data del mio quarantesimo compleanno.
Rispetto alla versione originale ho cambiato laser in LASER e, come da tradizione inglese, ho usato la maiuscola per l'inizio di ogni riga.
Uno splendido riadattamento in Toscano è stato pubblicato da Popinga nel post Ode al Laser del 14 Maggio 2010 (Popinga stecca la traduzione di "eventually", ma questa gliela perdoniamo).
Michele Santelia di Campobasso, l'uomo che scrive al contrario
Ho appreso dell'esistenza di Michele Santelia in un servizio televisivo trasmesso dal TG5 nell'edizione delle 20:00 di ieri sera.
Michele Santelia, utilizzando quattro tastiere in contemporanea e senza guardare il monitor del PC, ha già ritrascritto al contrario una settantina di opere celebri usando varie lingue, impresa che gli è valsa più di una citazione all'interno del World Guinness Records.
Personalmente, non comprendendone il valore aggiunto, di fronte a fenomeni di questo tipo rimango sempre piuttosto tiepido.
Qualcuno ha proposto di chiamare il ragioniere molisano Michele "da" Campobasso (quasi fosse un moderno Leonardo da Vinci). Ovviamente non mi pare il caso. Santelia ha comunque il merito di aver attirato l'attenzione sul Molise e su Campobasso, una regione e una città che solitamente sono lasciate ai margini.
Michele Santelia, utilizzando quattro tastiere in contemporanea e senza guardare il monitor del PC, ha già ritrascritto al contrario una settantina di opere celebri usando varie lingue, impresa che gli è valsa più di una citazione all'interno del World Guinness Records.
Personalmente, non comprendendone il valore aggiunto, di fronte a fenomeni di questo tipo rimango sempre piuttosto tiepido.
Qualcuno ha proposto di chiamare il ragioniere molisano Michele "da" Campobasso (quasi fosse un moderno Leonardo da Vinci). Ovviamente non mi pare il caso. Santelia ha comunque il merito di aver attirato l'attenzione sul Molise e su Campobasso, una regione e una città che solitamente sono lasciate ai margini.
Saturday, January 08, 2011
Nonsense dublinese
Se foste uno studente di un liceo scientifico nei pressi del Broom Bridge a Dublino, su quali "quadernoni" studiereste?
Lettera a Paolo Grimoldi sul caso Anna Frank
Caro Paolo, mi permetto di darti del tu visto che sei più giovane di me, e per il fatto che ci siamo fugacemente conosciuti una decina o dozzina d'anni fa a Piacenza, in occasione di una riuscitissima manifestazione dei Giovani Padani.
La notizia che mi porta a scriverti è vecchia ormai di un anno, ma evidentemente me l'ero persa. Ho letto di una tua interpellanza a proposito del Diario di Anna Frank; non ti si cita nemmeno per nome, si parla genericamente di un imbecille leghista. Lascia stare per favore, non è questo l'ambito in cui si richiede il tuo intervento (né quello di alcuno, per la verità). Sei stato eletto al Parlamento di Roma, che ti ricordo essere la capitale di uno Stato straniero e oppressore nei nostri confronti, per portare avanti le nostre sacrosante istanze indipendentiste, e mi piacerebbe che ti occupassi seriamente di questo. Nei tuoi interventi televisivi, un po' troppo pacati, vorrei sentirti usare più spesso la parola Padania e un po' meno la parola Italia, a meno che quest'ultima non sia correttamente riferita ai territori compresi tra il Lazio e la Calabria. I dodici mesi trascorsi spero ti siano serviti per più di una riflessione su questo caso; la censura non si applica alla letteratura. L'obiettivo da raggiungere è ancora lontano e la strada da percorrere ancora lunga. Non dimenticare chi rappresenti.
La notizia che mi porta a scriverti è vecchia ormai di un anno, ma evidentemente me l'ero persa. Ho letto di una tua interpellanza a proposito del Diario di Anna Frank; non ti si cita nemmeno per nome, si parla genericamente di un imbecille leghista. Lascia stare per favore, non è questo l'ambito in cui si richiede il tuo intervento (né quello di alcuno, per la verità). Sei stato eletto al Parlamento di Roma, che ti ricordo essere la capitale di uno Stato straniero e oppressore nei nostri confronti, per portare avanti le nostre sacrosante istanze indipendentiste, e mi piacerebbe che ti occupassi seriamente di questo. Nei tuoi interventi televisivi, un po' troppo pacati, vorrei sentirti usare più spesso la parola Padania e un po' meno la parola Italia, a meno che quest'ultima non sia correttamente riferita ai territori compresi tra il Lazio e la Calabria. I dodici mesi trascorsi spero ti siano serviti per più di una riflessione su questo caso; la censura non si applica alla letteratura. L'obiettivo da raggiungere è ancora lontano e la strada da percorrere ancora lunga. Non dimenticare chi rappresenti.
La stupidità secondo Pineda
"La stupidità non è il mio forte".
[Luis Felipe Pineda]
Nota: poesia scritta su una cartina, poi arrotolata a mo' di sigaretta e fumata dall'autore (si ringrazia Popinga per l'ispirazione).
[Luis Felipe Pineda]
Nota: poesia scritta su una cartina, poi arrotolata a mo' di sigaretta e fumata dall'autore (si ringrazia Popinga per l'ispirazione).
Gara con la canna nella Sèvre
Romanzo breve di Félix Fénéon.
Ieri gara con la canna nella Sèvre. 1.900 concorrenti hanno gettato l'amo, mentre 15.000 spettatori incitavano il pesce ad abboccare.
Ieri gara con la canna nella Sèvre. 1.900 concorrenti hanno gettato l'amo, mentre 15.000 spettatori incitavano il pesce ad abboccare.
La sbadataggine di Vital Frérotte
Romanzo breve di Félix Fénéon.
Domenica uno sguattero di Nancy, Vital Frérotte, è morto per una sbadataggine. Era appena tornato da Lourdes, definitivamente guarito dalla tubercolosi.
Domenica uno sguattero di Nancy, Vital Frérotte, è morto per una sbadataggine. Era appena tornato da Lourdes, definitivamente guarito dalla tubercolosi.
L'orologiaio Jallat
Romanzo breve di Félix Fénéon.
L'orologiaio Jallat, di Saint-Etienne, ha ucciso la sua bambina, che riteneva di costumi troppo poco morigerati. Va tuttavia considerato che gli rimangono altri undici figli.
L'orologiaio Jallat, di Saint-Etienne, ha ucciso la sua bambina, che riteneva di costumi troppo poco morigerati. Va tuttavia considerato che gli rimangono altri undici figli.
Il signor Louis Delillieau
Romanzo breve di Félix Fénéon.
Il signor Louis Delillieau, di 70 anni, è morto di insolazione nei dintorni di Noisy-sous-Ecole. Il suo cane – Fidèle – si è affrettato a sbranargli la testa.
Il signor Louis Delillieau, di 70 anni, è morto di insolazione nei dintorni di Noisy-sous-Ecole. Il suo cane – Fidèle – si è affrettato a sbranargli la testa.
Un cadavere a pelo d'acqua
Romanzo breve di Félix Fénéon.
Un cadavere a pelo d'acqua, trasportato dalla corrente. Lo ha pescato un marinaio di Boulogne. Abito grigio perla, nessun documento, età apparente 65 anni.
Un cadavere a pelo d'acqua, trasportato dalla corrente. Lo ha pescato un marinaio di Boulogne. Abito grigio perla, nessun documento, età apparente 65 anni.
Il ragazzo di Clichy
Romanzo breve di Félix Fénéon.
A Clichy un ragazzo piuttosto elegante si è buttato sotto una vettura in piazza, rialzandosi illeso. Un attimo dopo si è fatto investire da un camion, che lo ha ucciso.
A Clichy un ragazzo piuttosto elegante si è buttato sotto una vettura in piazza, rialzandosi illeso. Un attimo dopo si è fatto investire da un camion, che lo ha ucciso.
Il signor Colombe
Romanzo breve di Félix Fénéon.
Ieri a Rouen il signor Colombe si è ucciso con un colpo di rivoltella. Nel Marzo scorso sua moglie gliene aveva sparati tre. I due erano in attesa di divorzio.
Ieri a Rouen il signor Colombe si è ucciso con un colpo di rivoltella. Nel Marzo scorso sua moglie gliene aveva sparati tre. I due erano in attesa di divorzio.
Il signor Jules Kerzerho
Romanzo breve di Félix Fénéon.
Il signor Jules Kerzerho era presidente di una società di ginnastica. Il che non gli ha impedito di sfracellarsi tentando di saltare su un tram in corsa, a Rueil.
Si ringrazia Popinga per l'ispirazione.
Il signor Jules Kerzerho era presidente di una società di ginnastica. Il che non gli ha impedito di sfracellarsi tentando di saltare su un tram in corsa, a Rueil.
Si ringrazia Popinga per l'ispirazione.
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