Le proprietà del triangolo di Sierpiński. Il perimetro

Il perimetro di un generico triangolo equilatero è dato dalla misura del lato moltiplicata per tre. Il triangolo di Sierpiński introdotto in questa serie di post viene originato a partire da un triangolo equilatero che, per convenzione, ha lato unitario. Allo stadio n-esimo il perimetro si può dunque esprimere come il triplo prodotto della misura del lato allo stadio n per il numero di triangoli presenti in quello stesso stadio; in simboli:

2p(n) = 3*T(n)*(1/2)^n =

= 3*3^n*(1/2)^n =

= (3^(n + 1))/2^n

L'espressione qui sopra si può riscrivere come

2p(n) = 3*(3/2)^n

da cui si deducono due cose importanti: (1) il perimetro cresce secondo un andamento esponenziale di base 3/2, (2) reiterando il procedimento all'infinito (che è esattamente la caratteristica del triangolo di Sierpiński) si ottiene una figura di perimetro infinito.

Ed è questo secondo aspetto a rappresentare una delle grandi "stranezze" di questo triangolo: si scopre cioè che una figura con perimetro infinito non necessariamente deve avere dimensioni enormi: in fondo il triangolo di Sierpiński è facile da costruire e il suo disegno occupa porzioni di carta (o di schermo) estremamente ridotte, eppure la misura del suo perimetro varca ogni possibile confine di finitezza.