Guadagno atteso e resa di un gioco d'azzardo

È possibile legare tra loro i concetti di resa e guadagno (di un gioco d'azzardo) introdotti nei due post precedenti? Sì, e il modo è piuttosto semplice. Quello che vogliamo calcolare è il guadagno atteso g, differenza tra la vincita attesa v e il costo atteso c. Il concetto di "atteso/a" indica sempre un collegamento con la teoria della probabilità. In formule:

g = v - c

v = PG = P(I - O)

c = (1 - P)O

Come P rappresenta la probabilità di vincita così il termine complementare 1 - P esprime la probabilità di non vincita, ovvero di perdita. Possiamo ora svolgere i calcoli

g = P(I - O) - (1 - P)O =

= PI - PO - O + PO = PI - O

Ricordiamo che

I = KO

e sostituendo, si ottiene

g = PKO - O = O(PK - 1)

Ricordando infine che

R = PK

si perviene alla formula cercata

g = O(R - 1)

L'interpretazione è piuttosto semplice: dal momento che R è sempre compreso tra 0 e 1 (il banco è favorito) il guadagno atteso è sempre negativo; l'unico modo di azzerare le perdite è quello di azzerare il primo termine O, ovvero di non giocare.