Guardare oltre le formule (7)

L'equazione in forma esplicita della retta (y = mx + q) rappresenta una piccola miniera di informazioni. Un buon approccio alla geometria analitica è quello che consiste nell'imparare un semplice linguaggio tramite cui decodificare gli aspetti puramente algebrici di un'equazione per ricavarne elementi tipicamente geometrici. Si tratta, in pratica, di cominciare a guardare le equazioni con occhi diversi: non più come una mera giustapposizone di simboli ma come una sintesi del loro aspetto grafico. In questi termini, le rette rappresentano la materia più semplice da trattare, e la base di partenza per le complicazioni successive (circonferenze, parabole, ellissi, iperboli, ...).

In una retta gli elementi cui porre attenzione sono i parametri m e q. Il primo, chiamato coefficiente angolare, fornisce una misura del livello di inclinazione, il secondo, detto ordinata all'origine, consente di individuare il punto in cui la retta interseca l'asse verticale (asse delle ordinate).

Cominciamo dal secondo.

Il punto in cui una retta incontra l'asse y ha coordinate (0, q). Il parametro q ci permette dunque, e immediatamente, di capire dove una retta taglia l'asse verticale. Di fronte a un'equazione in forma esplicita, con un po' di pratica, verrà spontaneo chiedersi due cose: (1) q è positivo o negativo? (2) Qual è la sua ampiezza indipendentemente dal segno? Se q è positivo (negativo) sapremo allora che la retta taglierà l'asse y al di sopra (al di sotto) dell'asse x; inoltre, quanto maggiore è q in valore assoluto, tanto più lontano sarà il punto di intersezione dall'origine degli assi.

m indica invece il livello di inclinazione della retta, tenendo presente che l'inclinazione si misura rispetto all'asse x. Valori positivi di m corrispondono a rette che attraversano il primo e terzo quadrante, valori negativi sono associati a rette che si sviluppano nella direzione del secondo e quarto. Valori di riferimento importanti sono 1 e -1, che corrispondono, rispettivamente, alle bisettrici del primo e terzo quadrante e del secondo e quarto.

Anche in questo caso conviene porsi alcune domande: (1) m è positivo o negativo? (2) m è maggiore o minore di 1 e -1? Rette con m positivi sono inclinate positivamente, ovvero formano con l'asse x angoli compresi tra 0° e 90°, rette con m negativi formano invece con l'asse orizzontale angoli compresi tra -90° e 0°. Inoltre, nel caso di coefficiente angolare positivo, valori di m tra 0 e 1 corrispondono a rette "piatte" (comprese cioè tra l'asse x e la bisettrice del primo e terzo quadrante), mentre valori di m maggiori di 1 rappresentano rette "ripide" (comprese tra la bisettrice del primo e terzo quadrante e l'asse y); analogamente, nel caso di coefficiente angolare negativo, le rette piatte sono quelle con m compreso tra -1 e 0, mentre le rette ripide sono quelle con m minore di -1.

Come casi particolari, infine, vale la pena citare m = 0 (retta orizzontale) e q = 0 (retta passante per l'origine).

In ogni caso, quel che conviene fare è un po' di sana pratica iniziale, in modo che la decodifica di m e q nelle rispettive caratteristiche geometriche possa diventare un'operazione immediata, semplice e inconscia.

In base alla mia esperienza di oltre venticinque anni, chi ha imparato a ragionare in questo modo ne ha tratto grande giovamento e, spesso, una notevole passione per l'argomento.

Guardare oltre le formule (6)

Parlando di equazioni di secondo grado in forma completa avevo già osservato come prima di applicare la tradizionale formula convenga sempre controllare se il trinomio non sia per caso riconducibile allo sviluppo di un quadrato. Questa eventualità risulta molto utile anche per la risoluzione delle disequazioni.

Se ax^2 + bx + c = (Ax + B)^2 si hanno infatti i quattro casi seguenti:

(Ax + B)^2 > 0
(Ax + B)^2 >=0
(Ax + B)^2 <0
(Ax + B)^2 <= 0

Possiamo interpretare quanto sopra in linguaggio naturale:

Quando (per quale valore di x) un quadrato è positivo?
Quando un quadrato è positivo o nullo?
Quando un quadrato è negativo?
Quando un quadrato è negativo o nullo?

E le risposte sono immediate:

Sempre, tranne quando è nullo
Sempre
Mai
Quando è nullo

E passando nuovamente dal linguaggio naturale a quello algebrico ecco le soluzioni:

x <> -B/A
qualunque x
nessun x
x = -B/A

Guardare oltre le formule (5)

Un caso particolare di equazione di secondo grado è quello in cui il coefficiente a è unitario e i coefficienti b e c sono interi e relativamente piccoli:

x^2 + bx + c = 0

In questo caso la somma delle radici e il loro prodotto assumono una formulazione molto semplice:

s = x(1) + x(2) = -b
p = x(1)* x(2) = c

E ciò può essere sfruttato per determinare le soluzioni senza far ricorso alla formula generale.
In molti di questi casi, infatti, le due soluzioni sono quasi immediate e si possono desumere "per tentativi".

Un esempio può chiarire meglio:

x^2 - 7x - 8 = 0

Trovare le soluzioni significa cercare due numeri la cui somma sia 7 e il cui prodotto sia -8.

Si procede in questo modo: conviene sempre partire dal prodotto; le combinazioni di numeri interi che danno -8 sono le seguenti:

-8 = -1*8
-8 = 1*(-8)
-8 = -2*4
-8 = 2*(-4)

A questo punto, nota la somma, dalle quattro possibilità sopra si isola quella corretta: nel nostro esempio la prima.
Le soluzioni sono dunque -1 e 8.

La semplicità di questo metodo viene meno man mano che aumentano i valori dei coefficienti; va inoltre segnalato che anche con coefficienti semplici, in taluni casi, le soluzioni non sono facili da individuare "a occhio", ed è il caso in cui queste ultime sono costituite da numeri frazionari.
Come sempre è l'esperienza, in ultima analisi, a permettere di sfruttare le potenzialità di questo metodo laddove è più conveniente.

Guardare oltre le formule (4)

Il caso precedente è utile per semplificare i calcoli, anzi per evitarli del tutto, anche nel caso di disequazioni. I quattro casi possibili sono:

ax^2 + c > 0
ax^2 + c >= 0
ax^2 + c < 0
ax^2 + c <= 0

La prima si interpreta come segue: trovare per quale valore di x la somma di due numeri, il primo positivo o al limite nullo e il secondo positivo, è positiva; ovviamente ciò è sempre vero; idem per la seconda disequazione: il simbolo ">=" si interpreta infatti come "maggiore o uguale a zero". E quando la stessa somma è negativa? Ovviamente mai; dunque le disequazioni tre e quattro non sono mai verificate.

Rilette in linguaggio naturale, le quattro disequazioni sopra suonerebbero così:

Quando un numero positivo è positivo?
Quando un numero positivo è positivo o nullo?
Quando un numero positivo è negativo?
Quando un numero positivo è negativo o nullo?

E le risposte sono:

Sempre
Sempre
Mai
Mai

Guardare oltre le formule (3)

A volte un'equazione di secondo grado si presenta nella forma semplificata:

ax^2 + c = 0

Tecnicamente parlando queste equazioni vengono dette pure, ma la cosa non è particolarmente importante.
È invece interessante notare che, nel caso in cui c sia un numero positivo, possiamo "leggere" l'equazione in questo modo: trovare per quale valore di x la somma di due numeri, il primo positivo o al limite nullo e il secondo positivo, è pari a zero; dato che questa somma è sempre positiva si capisce benissimo che non esistono soluzioni (ci stiamo infatti chiedendo quando un numero positivo è uguale a zero: mai).
E questo senza fare calcoli, ma solo guardando in faccia all'equazione.

Guardare oltre le formule (2)

Il post precedente e quelli che seguiranno sono nati dall'osservazione (in circa ventuno anni di lezioni private) dei comportamenti che molti ragazzi mostrano di fronte a espressioni matematiche tutto sommato semplici: si applica la formula in modo del tutto meccanico senza chiedersi se quell'espressione rappresenti qualcosa di più di una semplice successione di numeri, simboli e lettere.

Ragionare ed essere presenti a sé stessi, invece, ha molti vantaggi: in primo luogo permette di comprendere quel che si sta facendo (quindi di essere anche attori e non solo esecutori di calcoli), in secondo luogo l'osservazione permette il riconoscimento di strutture caratteristiche che spesso danno luogo a strade semplificate per la risoluzione dei problemi (questo implica meno errori e meno tempo sprecato su un determinato esercizio), in terzo luogo, come conseguenza dei primi due, si tiene il cervello sempre in allenamento e ci si diverte anche.

Guardare oltre le formule (1)

Di fronte a un'equazione di secondo grado in forma completa, prima di risolverla, è sempre opportuno porsi due domande.

La prima consiste nel chiedersi quale relazione di segno intercorre tra i segni dei coefficienti a e c. Se i coefficineti sono concordi non è possibile fare previsioni circa il segno del delta (e dunque sulla realtà o meno delle radici), ma se i coefficienti sono discordi si sa con certezza che il delta è positivo, dunque che le soluzioni sono reali e distinte.

Infatti, dato b^2 - 4ac, quando a e c sono di segno opposto la quantità -4ac è positiva e il delta si presenta come la somma di due termini positivi, ovvero è positivo.

Perché ciò è utile? Perché permette di determinare a priori un risultato. Più i coefficienti a, b, c si discostano dai numeri interi di piccole dimensioni, più aumenta la probabilità di fare errori, specie se cominciano a comparire radici. Se facendo i calcoli doveste trovare un delta negativo sapete già che avete commesso un errore e potete tornare indietro e autocorreggervi. Certo, se avete trovato un delta positivo numericamente sbagliato questo metodo, tuttavia, non è di utilità, ma si noti che, in questo caso, non esiste un metodo che possa aiutarvi.

La seconda domanda che è utile porsi è chiedersi se il trinomio dell'equazione non sia per caso lo sviluppo di un quadrato. Ciò è utile perché in tal caso non c'è nemmeno bisogno di calcolare il delta (che è sempre nullo) e le due soluzioni coincidenti appaiono immediatamente dopo aver determinato il prodotto notevole.

Per esempio x^2 + 6x + 9 = 0 si può scrivere come (x + 3)^2 e la soluzione -3 appare subito evidente.