Guardare oltre le formule (7)

L'equazione in forma esplicita della retta (y = mx + q) rappresenta una piccola miniera di informazioni. Un buon approccio alla geometria analitica è quello che consiste nell'imparare un semplice linguaggio tramite cui decodificare gli aspetti puramente algebrici di un'equazione per ricavarne elementi tipicamente geometrici. Si tratta, in pratica, di cominciare a guardare le equazioni con occhi diversi: non più come una mera giustapposizone di simboli ma come una sintesi del loro aspetto grafico. In questi termini, le rette rappresentano la materia più semplice da trattare, e la base di partenza per le complicazioni successive (circonferenze, parabole, ellissi, iperboli, ...).

In una retta gli elementi cui porre attenzione sono i parametri m e q. Il primo, chiamato coefficiente angolare, fornisce una misura del livello di inclinazione, il secondo, detto ordinata all'origine, consente di individuare il punto in cui la retta interseca l'asse verticale (asse delle ordinate).

Cominciamo dal secondo.

Il punto in cui una retta incontra l'asse y ha coordinate (0, q). Il parametro q ci permette dunque, e immediatamente, di capire dove una retta taglia l'asse verticale. Di fronte a un'equazione in forma esplicita, con un po' di pratica, verrà spontaneo chiedersi due cose: (1) q è positivo o negativo? (2) Qual è la sua ampiezza indipendentemente dal segno? Se q è positivo (negativo) sapremo allora che la retta taglierà l'asse y al di sopra (al di sotto) dell'asse x; inoltre, quanto maggiore è q in valore assoluto, tanto più lontano sarà il punto di intersezione dall'origine degli assi.

m indica invece il livello di inclinazione della retta, tenendo presente che l'inclinazione si misura rispetto all'asse x. Valori positivi di m corrispondono a rette che attraversano il primo e terzo quadrante, valori negativi sono associati a rette che si sviluppano nella direzione del secondo e quarto. Valori di riferimento importanti sono 1 e -1, che corrispondono, rispettivamente, alle bisettrici del primo e terzo quadrante e del secondo e quarto.

Anche in questo caso conviene porsi alcune domande: (1) m è positivo o negativo? (2) m è maggiore o minore di 1 e -1? Rette con m positivi sono inclinate positivamente, ovvero formano con l'asse x angoli compresi tra 0° e 90°, rette con m negativi formano invece con l'asse orizzontale angoli compresi tra -90° e 0°. Inoltre, nel caso di coefficiente angolare positivo, valori di m tra 0 e 1 corrispondono a rette "piatte" (comprese cioè tra l'asse x e la bisettrice del primo e terzo quadrante), mentre valori di m maggiori di 1 rappresentano rette "ripide" (comprese tra la bisettrice del primo e terzo quadrante e l'asse y); analogamente, nel caso di coefficiente angolare negativo, le rette piatte sono quelle con m compreso tra -1 e 0, mentre le rette ripide sono quelle con m minore di -1.

Come casi particolari, infine, vale la pena citare m = 0 (retta orizzontale) e q = 0 (retta passante per l'origine).

In ogni caso, quel che conviene fare è un po' di sana pratica iniziale, in modo che la decodifica di m e q nelle rispettive caratteristiche geometriche possa diventare un'operazione immediata, semplice e inconscia.

In base alla mia esperienza di oltre venticinque anni, chi ha imparato a ragionare in questo modo ne ha tratto grande giovamento e, spesso, una notevole passione per l'argomento.