I risultati esposti di seguito si desumono facilmente da quanto illustrato in precedenza.
Perimetro del triangolo n-esimo:
P(n) = P*(1 + q^2)^[(n-1)/2]
Dove P = a + b + c (perimetro del triangolo base).
Area del triangolo n-esimo:
A(n) = A*(1 + q^2)^(n-1)
Dove A = ab/2 (area del triangolo base).
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Sunday, January 23, 2011
Magia matematica (25.2). Composizione di triangoli rettangoli
I valori di a(n), b(n) e c(n) hanno un andamento esponenziale e costituiscono i termini di una progressione geometrica di cui riporto nel seguito fattore di scala (F) e ragione (R):
F(a(n)) = a/(1 + q^2)^0.5
F(b(n)) = aq/(1 + q^2)^0.5
F(c(n)) = a
R(a(n)) = R(b(n)) = R(c(n)) = (1 + q^2)^0.5
Si noti come i fattori di scala delle tre progressioni soddisfano il Teorema di Pitagora:
[F(c(n))]^2 = [F(a(n))]^2 + [F(b(n))]^2
F(a(n)) = a/(1 + q^2)^0.5
F(b(n)) = aq/(1 + q^2)^0.5
F(c(n)) = a
R(a(n)) = R(b(n)) = R(c(n)) = (1 + q^2)^0.5
Si noti come i fattori di scala delle tre progressioni soddisfano il Teorema di Pitagora:
[F(c(n))]^2 = [F(a(n))]^2 + [F(b(n))]^2
Magia matematica (25.1). Composizione di triangoli rettangoli
Sia dato un triangolo ABC rettangolo in B appoggiato al cateto AB che ne funge da base. Immaginiamo di costruire sull'ipotenusa AC un nuovo triangolo rettangolo, simile al precedente, e reiteriamo il processo indefinitamente.
Siano:
AB = a(1) = a
BC = b(1) = b
AC = c(1) = c
Ci chiediamo come è possibile esprimere i valori di a(n), b(n) e c(n) del triangolo n-esimo in funzione di a, b e c.
Osserviamo innanzitutto che la base del secondo triangolo è uguale all'ipotenusa del primo, che la base del terzo triangolo è uguale all'ipotenusa del secondo, e così via; vale dunque la relazione:
a(n) = c(n-1) [1]
In secondo luogo, data la similitudine costruttiva, si può dire che:
b(n)/a(n) = b/a
Da cui:
b(n) = a(n)*b/a
Che, in base alla [1], diventa:
b(n) = c(n-1)*b/a [2]
Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo di partenza sappiamo che:
c^2 = a^2 + b^2
Passando al secondo triangolo vale:
[c(2)]^2 = [a(2)]^2 + [b(2)]^2
E sostituendo la [1] e la [2]:
[c(2)]^2 = c^2 + [c^2]*(b/a)^2 = (a^2 + b^2)*[1 + (b/a)^2]
Per il terzo triangolo si ha:
Siano:
AB = a(1) = a
BC = b(1) = b
AC = c(1) = c
Ci chiediamo come è possibile esprimere i valori di a(n), b(n) e c(n) del triangolo n-esimo in funzione di a, b e c.
Osserviamo innanzitutto che la base del secondo triangolo è uguale all'ipotenusa del primo, che la base del terzo triangolo è uguale all'ipotenusa del secondo, e così via; vale dunque la relazione:
a(n) = c(n-1) [1]
In secondo luogo, data la similitudine costruttiva, si può dire che:
b(n)/a(n) = b/a
Da cui:
b(n) = a(n)*b/a
Che, in base alla [1], diventa:
b(n) = c(n-1)*b/a [2]
Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo di partenza sappiamo che:
c^2 = a^2 + b^2
Passando al secondo triangolo vale:
[c(2)]^2 = [a(2)]^2 + [b(2)]^2
E sostituendo la [1] e la [2]:
[c(2)]^2 = c^2 + [c^2]*(b/a)^2 = (a^2 + b^2)*[1 + (b/a)^2]
Per il terzo triangolo si ha:
[c(3)]^2 = [a(3)]^2 + [b(3)]^2
Sostituendo la [1] e la [2] si ottiene:
[c(3)]^2 = [c(2)]^2 + ([c(2)]^2)*(b/a)^2
E utilizzando il valore di [c(2)]^2 precedentemente trovato si perviene a:
[c(3)]^2 = (a^2 + b^2)*[1 + (b/a)^2]^2
Se proseguiamo in maniera analoga non è difficile derivare il seguente risultato generale:
[c(n)]^2 = (a^2 + b^2)*[1 + (b/a)^2]^(n-1)
O, equivalentemente:
[c(n)]^2 = (a^2)*[1 + (b/a)^2]^n [3]
Infine, indicato per semplicità con q il rapporto b/a, la [3] si può anche scrivere come:
[c(n)]^2 = (a^2)*[1 + q^2]^n [4]
Da cui il valore di c(n):
c(n) = a*(1 + q^2)^(n/2) [5]
Noto c(n), per sostituzione nelle [1] e [2] si possono ora calcolare i valori di a(n) e b(n):
a(n) = a*(1 + q^2)^[(n-1)/2] [6]
b(n) = aq*(1 + q^2)^[(n-1)/2] [7]
Sunday, December 26, 2010
Magia matematica (24.6). Il Triangolo di Tartaglia - Pascal
Una settima proprietà del Triangolo di Tartaglia - Pascal.
Per ciascuna riga del triangolo si costruisca un istogramma (ad esempio con Excel) i cui elementi abbiano altezze pari ai valori di quella riga. La curva che ne risulta sarà tanto più vicina a una gaussiana quanto più ci allontaniamo dal vertice del triangolo.
Questo risultato è una conseguenza del noto Teorema Centrale del Limite.
Per ciascuna riga del triangolo si costruisca un istogramma (ad esempio con Excel) i cui elementi abbiano altezze pari ai valori di quella riga. La curva che ne risulta sarà tanto più vicina a una gaussiana quanto più ci allontaniamo dal vertice del triangolo.
Questo risultato è una conseguenza del noto Teorema Centrale del Limite.
Magia matematica (24.5). Il Triangolo di Tartaglia - Pascal
Una sesta proprietà del Triangolo di Tartaglia - Pascal.
Ci si muova lungo una diagonale in direzione nordovest-sudest (nordest-sudovest) e si sommino, a partire da 1, i numeri in essa contenuti; se da questo punto si intraprende un percorso in direzione nordest-sudovest (nordovest-sudest), il primo numero incontrato corrisponderà alla somma precedente.
Esempio: partendo dalla quinta diagonale che inizia sul lato esterno di sinistra e muovendoci in direzione nordovest-sudest, si incontrano i numeri 1, 5, 15, 35, 70, ... Ci fermiamo a 70 e da qui procediamo in direzione nordest-sudovest; il primo numero incontrato è 126, pari alla somma dei cinque numeri precedenti.
Evidenziando questa struttura sul trinagolo si genera una specie di mazza da hockey, nome con cui, talvolta, è indicata questa proprietà.
Ci si muova lungo una diagonale in direzione nordovest-sudest (nordest-sudovest) e si sommino, a partire da 1, i numeri in essa contenuti; se da questo punto si intraprende un percorso in direzione nordest-sudovest (nordovest-sudest), il primo numero incontrato corrisponderà alla somma precedente.
Esempio: partendo dalla quinta diagonale che inizia sul lato esterno di sinistra e muovendoci in direzione nordovest-sudest, si incontrano i numeri 1, 5, 15, 35, 70, ... Ci fermiamo a 70 e da qui procediamo in direzione nordest-sudovest; il primo numero incontrato è 126, pari alla somma dei cinque numeri precedenti.
Evidenziando questa struttura sul trinagolo si genera una specie di mazza da hockey, nome con cui, talvolta, è indicata questa proprietà.
Friday, December 24, 2010
Magia matematica (24.4). Il Triangolo di Tartaglia - Pascal
Una quinta proprietà del Triangolo di Tartaglia - Pascal.
Dati i numeri sulla verticale costituita dai valori centrali delle righe dispari (1, 2, 6, 20, 70, ...), da essi si può risalire ai Numeri di Catalan dividendo rispettivamente per 1, 2, 3, 4, 5, ...
C1 = 1/1 = 1
C2 = 2/2 = 1
C3 = 6/3 = 2
C4 = 20/4 = 5
C5 = 70/5 = 14
...
Dati i numeri sulla verticale costituita dai valori centrali delle righe dispari (1, 2, 6, 20, 70, ...), da essi si può risalire ai Numeri di Catalan dividendo rispettivamente per 1, 2, 3, 4, 5, ...
C1 = 1/1 = 1
C2 = 2/2 = 1
C3 = 6/3 = 2
C4 = 20/4 = 5
C5 = 70/5 = 14
...
Magia matematica (24.3). Il Triangolo di Tartaglia - Pascal
Una quarta proprietà del Triangolo di Tartaglia - Pascal.
Ogni diagonale (escluse le prime due) rappresenta una successione di numeri politopici (si dicono "politopici" in quanto estensione alle n dimensioni dei numeri poligonali).
La terza diagonale fornisce i numeri triangolari:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...
La quarta diagonale fornisce i numeri tetraedrici:
1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, ...
La quinta diagonale fornisce i numeri 4-topici:
1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, ...
La sesta diagonale fornisce i numeri 5-topici:
Ogni diagonale (escluse le prime due) rappresenta una successione di numeri politopici (si dicono "politopici" in quanto estensione alle n dimensioni dei numeri poligonali).
La terza diagonale fornisce i numeri triangolari:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...
La quarta diagonale fornisce i numeri tetraedrici:
1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, ...
La quinta diagonale fornisce i numeri 4-topici:
1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, ...
La sesta diagonale fornisce i numeri 5-topici:
1, 6, 21, 56, 126, 252, 462...
...
Magia matematica (24.2). Il Triangolo di Tartaglia - Pascal
Una terza proprietà del Triangolo di Tartaglia - Pascal.
I numeri delle prime cinque righe corrispondo allo sviluppo delle prime cinque potenze di 11 (considerando come prima potenza quella con esponente zero).
1 = 11^0
11 = 11^1
121 = 11^2
1331 = 11^3
14641 = 11^4
I numeri delle prime cinque righe corrispondo allo sviluppo delle prime cinque potenze di 11 (considerando come prima potenza quella con esponente zero).
1 = 11^0
11 = 11^1
121 = 11^2
1331 = 11^3
14641 = 11^4
Magia matematica (24.1). Il Triangolo di Tartaglia - Pascal
Due semplici proprietà del Triangolo di Tartaglia - Pascal.
01 La somma dei valori della riga n corrisponde a 2^(n - 1).
1 = 1 = 2^0
1 + 1 = 2 = 2^1
1 + 2 + 1 = 4 = 2^2
1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4
...
02 La differenza dei valori di ciascuna riga (presi a segni alterni, ed escludendo la prima riga) è sempre zero.
1 - 1 = 0
01 La somma dei valori della riga n corrisponde a 2^(n - 1).
1 = 1 = 2^0
1 + 1 = 2 = 2^1
1 + 2 + 1 = 4 = 2^2
1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4
...
02 La differenza dei valori di ciascuna riga (presi a segni alterni, ed escludendo la prima riga) è sempre zero.
1 - 1 = 0
1 - 2 + 1 = 0
1 - 3 + 3 - 1 = 0
1 - 4 + 6 - 4 + 1 = 0
1 - 5 + 10 - 10 + 5 - 1 = 0
...
Tuesday, December 14, 2010
Magia matematica (23). Sequenze di Farey
Immaginiamo di prendere tutte le frazioni minori di 1 con numeratore compreso tra 0 e n e denominatore compreso tra 1 e n. Se n è uguale a 4 otteniamo:
0/1, 0/2, 0/3, 0/4
1/1, 1/2, 1/3, 1/4
2/2, 2/3, 2/4
3/3, 3/4
4/4
Eliminiamo ora le frazioni equivalenti (0/2, 0/3, 0/4 equivalenti a 0/1; 2/2, 3/3, 4/4 equivalenti a 1/1 e 2/4 equivalente a 1/2).
0/1
1/1, 1/2, 1/3, 1/4
2/3
3/4
Infine ordiniamo in senso crescente.
0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1
Prendiamo ora una qualunque terna di frazioni, per esempio quella di mezzo.
1/3, 1/2, 2/3
Sommiamo tra loro i numeratori delle frazioni esterne e facciamo la stessa cosa con i denominatori. Quel che si ottiene è una frazione che, ridotta ai minimi termini, coincide con quella interna.
Questa sorprendente proprietà è stata individuata dal geologo inglese John Farey (1766 - 1826). Le frazioni sopra descritte, in suo onore, sono oggi note come Sequenze di Farey.
0/1, 0/2, 0/3, 0/4
1/1, 1/2, 1/3, 1/4
2/2, 2/3, 2/4
3/3, 3/4
4/4
Eliminiamo ora le frazioni equivalenti (0/2, 0/3, 0/4 equivalenti a 0/1; 2/2, 3/3, 4/4 equivalenti a 1/1 e 2/4 equivalente a 1/2).
0/1
1/1, 1/2, 1/3, 1/4
2/3
3/4
Infine ordiniamo in senso crescente.
0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1
Prendiamo ora una qualunque terna di frazioni, per esempio quella di mezzo.
1/3, 1/2, 2/3
Sommiamo tra loro i numeratori delle frazioni esterne e facciamo la stessa cosa con i denominatori. Quel che si ottiene è una frazione che, ridotta ai minimi termini, coincide con quella interna.
Questa sorprendente proprietà è stata individuata dal geologo inglese John Farey (1766 - 1826). Le frazioni sopra descritte, in suo onore, sono oggi note come Sequenze di Farey.
Monday, November 01, 2010
Magia matematica (22.2). Problemi intrattabili
Problemi come quelli del puzzle delle scimmie sono detti intrattabili. Sono intrattabili i problemi che necessitano di algoritmi irragionevoli, ovvero super-polinomiali (ad esempio di tipo esponenziale o fattoriale).
Magia matematica (22.1). Il puzzle delle scimmie
Il puzzle delle scimmie, nella sua versione classica, consiste in un gioco a nove carte quadrate, sui cui lati sono stampate le metà superiori e inferiori di scimmie colorate. Lo scopo è quello di costruire un quadrato 3*3 dove forme e colori delle scimmie combacino perfettamente.
Da un punto di vista umano il problema non è tra i più difficili, ma guardando all'aspetto algoritmico si possono fare alcune considerazioni interessanti.
Nel peggiore dei casi dovremmo analizzare 9! = 9*8*7*...*2*1 = 362.880 possibilità: ci sono infatti nove modi possibili per scegliere la prima carta, otto per la seconda, sette per la terza, e così via.
Se disponessimo di un computer in grado di controllare un miliardo di ordinamenti al secondo (supposizione ragionevole), il problema precedente verrebbe risolto in circa 0,36 millisecondi.
Ma la dimensione fattoriale cresce in modo esorbitante. Se il puzzle delle scimmie fosse costituito da 16 carte (quadrato 4*4) i tempi di calcolo sarebbero di quasi sei ore; con 25 carte (quadrato 5*5), invece, ci vorrebbero quasi 492 milioni di anni. Solo per curiosità: con 36 carte i tempi di calcolo supererebbero l'attuale età dell'universo.
Da un punto di vista umano il problema non è tra i più difficili, ma guardando all'aspetto algoritmico si possono fare alcune considerazioni interessanti.
Nel peggiore dei casi dovremmo analizzare 9! = 9*8*7*...*2*1 = 362.880 possibilità: ci sono infatti nove modi possibili per scegliere la prima carta, otto per la seconda, sette per la terza, e così via.
Se disponessimo di un computer in grado di controllare un miliardo di ordinamenti al secondo (supposizione ragionevole), il problema precedente verrebbe risolto in circa 0,36 millisecondi.
Ma la dimensione fattoriale cresce in modo esorbitante. Se il puzzle delle scimmie fosse costituito da 16 carte (quadrato 4*4) i tempi di calcolo sarebbero di quasi sei ore; con 25 carte (quadrato 5*5), invece, ci vorrebbero quasi 492 milioni di anni. Solo per curiosità: con 36 carte i tempi di calcolo supererebbero l'attuale età dell'universo.
Saturday, August 28, 2010
Magia matematica (21). Matemagica
Ne parliamo solo ora ma la matemagica esiste veramente. Essa si occupa di giochi di prestigio basati, totalmente o parzialmente, su ragionamenti logico-matematici. Il termine è attribuito al prestigiatore statunitense Royal V Healt, ma è stato ripreso e reso celebre dal grande Martin Gardner.
Saturday, July 31, 2010
Magia matematica (20). I pesci nel lago
Il problema esposto di seguito è tratto (con alcune personalizzazioni) dal libro Giochi di intelligenza (2007, Alpha Test) di Maria Cristina Valsecchi e Daniele A Gewurz.
Un biologo deve stimare il numero di pesci che popolano un piccolo lago. Decide di catturare 50 esemplari e di applicare loro un marcatore colorato. Alcuni giorni dopo, tempo sufficiente a far sì che si realizzi un rimescolamento sufficiente, lo scienziato cattura altri 50 pesci e tra questi ne trova due dotati di marcatore.
Domanda: con i dati del problema è possibile dedurre la popolazione di pesci presenti nel lago e, se sì, quanti sono?
La risposta alla prima parte del quesito è affermativa e i pesci sono circa 1.250. Vediamo perché. La densità dei pesci marcati presenti nel lago è 2/50 = 1/25. Moltiplicando entrambi i termini per 50 si ottiene 50/1.250. La densità è ovviamente la stessa, il numeratore rappresenta i pesci marcati e il denominatore il numero totale di pesci.
Thursday, December 24, 2009
Magia matematica (19). Dal quadrilatero al parallelogramma
Per quanto bislacco è il quadrilatero che potete disegnare, se congiungete i punti medi dei suoi lati otterrete sempre un parallelogramma. Il mistero apparente è presto svelato: è sufficiente dividere il quadrilatero in due triangoli tracciando una delle due diagonali e applicare qualche riminiscenza dei teoremi di Talete. Fatto ciò apparirà tutto sotto una luce diversa e la semplicità nascosta sarà svelata.
Monday, August 03, 2009
Magia matematica (18.6). Tacche e fori
L'ultimo passo rimasto per la risoluzione del problema è il calcolo del numero di tacche (T) e di buchi (B).
Se indichiamo con T(n) e B(n), rispettivamente il numero di tacche e di buchi dopo aver eseguito n piegature, possiamo innanzitutto osservare che i casi n = 0, 1, 2, 3 sono banali; si ha infatti:
T(0) = 4, B(0) = 0
T(1) = 6, B(1) = 1
T(2) = 8, B(2) = 4
T(3) = 12, B(3) = 10
Diventa invece più interessante il caso n > 3; da qui in avanti abbiamo solo le configurazioni K[3] (sempre pari a 4), K[4] e K[5], la cui numerosità è descritta dalle precedenti formule NK4(n) e NK5(n).
Il calcolo delle tacche si fa moltiplicando i coefficienti davanti alla T delle configurazioni K[3], K[4], K[5] per la numerosità delle configurazioni stesse, ovvero:
T(n) = 2*NK3(n) + 1*NK4(n) + 0*NK5(n) =
= 2NK3(n) + NK4(n)
Dunque sostituendo:
T(n) = 2*4 + 2S(n) - 8 =
= 8 + 2S(n) - 8 =
= 2S(n)
Per n da 4 a 10 questi valori sono 16, 24, 32, 48, 64, 96, 128.
In modo analogo, il conteggio dei buchi si fa moltiplicando i coefficienti davanti alla B delle configurazioni K[3], K[4], K[5] per la numerosità delle stesse:
B(n) = (2/2)*NK3(n) + (3/2)*NK4(n) + (4/2)*NK5(n) =
= NK3(n) + (3/2)*NK4(n) + 2NK5(n)
Se sostituiamo si ottiene:
B(n) = 4 + (3/2)*(2S(n) - 8) +2*(P(n) - 2S(n) + 4) =
= 2P(n) - S(n)
Per n da 4 a 10 questi valori sono 24, 52, 112, 232, 480, 976, 1984.
Se indichiamo con T(n) e B(n), rispettivamente il numero di tacche e di buchi dopo aver eseguito n piegature, possiamo innanzitutto osservare che i casi n = 0, 1, 2, 3 sono banali; si ha infatti:
T(0) = 4, B(0) = 0
T(1) = 6, B(1) = 1
T(2) = 8, B(2) = 4
T(3) = 12, B(3) = 10
Diventa invece più interessante il caso n > 3; da qui in avanti abbiamo solo le configurazioni K[3] (sempre pari a 4), K[4] e K[5], la cui numerosità è descritta dalle precedenti formule NK4(n) e NK5(n).
Il calcolo delle tacche si fa moltiplicando i coefficienti davanti alla T delle configurazioni K[3], K[4], K[5] per la numerosità delle configurazioni stesse, ovvero:
T(n) = 2*NK3(n) + 1*NK4(n) + 0*NK5(n) =
= 2NK3(n) + NK4(n)
Dunque sostituendo:
T(n) = 2*4 + 2S(n) - 8 =
= 8 + 2S(n) - 8 =
= 2S(n)
Per n da 4 a 10 questi valori sono 16, 24, 32, 48, 64, 96, 128.
In modo analogo, il conteggio dei buchi si fa moltiplicando i coefficienti davanti alla B delle configurazioni K[3], K[4], K[5] per la numerosità delle stesse:
B(n) = (2/2)*NK3(n) + (3/2)*NK4(n) + (4/2)*NK5(n) =
= NK3(n) + (3/2)*NK4(n) + 2NK5(n)
Se sostituiamo si ottiene:
B(n) = 4 + (3/2)*(2S(n) - 8) +2*(P(n) - 2S(n) + 4) =
= 2P(n) - S(n)
Per n da 4 a 10 questi valori sono 24, 52, 112, 232, 480, 976, 1984.
Thursday, July 30, 2009
Magia matematica (18.5). Tacche e fori
Il calcolo della numerosità delle configurazioni K[1], K[2], ..., K[5] può essere fatto a partire da n, L1 e L2, avendo indicato con n il numero di piegature (n = 0, 1, 2, ...), con L1 il primo lato del foglio da cui si cominciano le piegature e con L2 il secondo lato (le piegature avvengono alternativamente lungo L1 e L2).
Possiamo indicare con L1(n) e L2 (n) il numero di sottorettangoli in cui vengono suddivisi i lati L1 e L2 del foglio originale dopo n piegature. Per esempio, se L1 è il lato lungo, dopo la prima piegatura si avrà L1(1) = 2 e L2(1) = 1; la seconda piegatura avverrà lungo il lato L2 e dunque si avrà L1(2) = 2, L2(2) = 2; alla terza piegatura si avrà L1(3) = 4, L2(3) = 2, e così via.
In generale:
L1(0) = 1, L2(0) = 1
L1(1) = 2, L2(1) = 1
L1(2) = 2, L2(2) = 2
L1(3) = 4, L2(3) = 2
L1(4) = 4, L2(4) = 4
L1(5) = 8, L2(5) = 4
...
con L2(n) = L1(n - 1) per n >= 1.
Possiamo ora contare le diverse configurazioni (per semplicità indichiamo con NK1(n), NK2(n), ..., NK5(n) il numero di configurazioni K[1], K[2], ..., K[5] al variare di n).
Per le prime tre configurazioni si può procedere in modo molto semplice.
Per K[1] si ha:
NK1(0) = 1
NK1(n) = 0, per n > 0
Per K[2] si ha:
NK2(1) = 2
NK2(n) = 0, per n <> 1
Per K[3] si ha:
NK3(0) = 0
NK3(1) = 0
NK3(n) = 4, per n > 1
Il calcolo della numerosità delle ultime due configurazioni è invece meno immediato.
Per K[4] si è già detto che queste configurazioni sono tante quante sono le posizioni perimetrali dei sottorettangoli. Si può dunque scrivere:
NK4(n) = 2*(L1(n) - 2) + 2*(L2(n) - 2) =
= 2*(L1(n) + L2(n) - 4)
Se indichiamo con S(n) = L1(n) + L2(n) possiamo riscrivere l'espressione precedente come:
NK4(n) = 2S(n) - 8
E considerando tutti i casi possibili:
NK4(0) = 0
NK4(1) = 0
NK4(2) = 0
NK4(n) = 2S(n) - 8, per n > 2
Nel caso di K[5] si è invece osservato che queste configurazioni corrispondono alle posizioni centrali. Possiamo allora scrivere:
NK5(n) = (L1(n) - 2)*(L2(n) - 2) =
= L1(n)*L2(n) - 2*(L1(n) + L2(n)) + 4
Indicando con P(n) = L1(n)*L2(n) possiamo semplificare la scrittura dell'espressione precedente in:
NK5(n) = P(n) - 2S(n) + 4
Considerando tutti i casi possibili:
NK5(0) = 0
NK5(1) = 0
NK5(2) = 0
NK5(3) = 0
NK5(n) = P(n) - 2S(n) + 4, per n > 3
Le quantità S(n) e P(n) assumono i seguenti valori:
S(n) = 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, ...
P(n) = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...
Quest'ultima è chiaramente sintetizzabile nella formula:
P(n) = 2^n
Possiamo indicare con L1(n) e L2 (n) il numero di sottorettangoli in cui vengono suddivisi i lati L1 e L2 del foglio originale dopo n piegature. Per esempio, se L1 è il lato lungo, dopo la prima piegatura si avrà L1(1) = 2 e L2(1) = 1; la seconda piegatura avverrà lungo il lato L2 e dunque si avrà L1(2) = 2, L2(2) = 2; alla terza piegatura si avrà L1(3) = 4, L2(3) = 2, e così via.
In generale:
L1(0) = 1, L2(0) = 1
L1(1) = 2, L2(1) = 1
L1(2) = 2, L2(2) = 2
L1(3) = 4, L2(3) = 2
L1(4) = 4, L2(4) = 4
L1(5) = 8, L2(5) = 4
...
con L2(n) = L1(n - 1) per n >= 1.
Possiamo ora contare le diverse configurazioni (per semplicità indichiamo con NK1(n), NK2(n), ..., NK5(n) il numero di configurazioni K[1], K[2], ..., K[5] al variare di n).
Per le prime tre configurazioni si può procedere in modo molto semplice.
Per K[1] si ha:
NK1(0) = 1
NK1(n) = 0, per n > 0
Per K[2] si ha:
NK2(1) = 2
NK2(n) = 0, per n <> 1
Per K[3] si ha:
NK3(0) = 0
NK3(1) = 0
NK3(n) = 4, per n > 1
Il calcolo della numerosità delle ultime due configurazioni è invece meno immediato.
Per K[4] si è già detto che queste configurazioni sono tante quante sono le posizioni perimetrali dei sottorettangoli. Si può dunque scrivere:
NK4(n) = 2*(L1(n) - 2) + 2*(L2(n) - 2) =
= 2*(L1(n) + L2(n) - 4)
Se indichiamo con S(n) = L1(n) + L2(n) possiamo riscrivere l'espressione precedente come:
NK4(n) = 2S(n) - 8
E considerando tutti i casi possibili:
NK4(0) = 0
NK4(1) = 0
NK4(2) = 0
NK4(n) = 2S(n) - 8, per n > 2
Nel caso di K[5] si è invece osservato che queste configurazioni corrispondono alle posizioni centrali. Possiamo allora scrivere:
NK5(n) = (L1(n) - 2)*(L2(n) - 2) =
= L1(n)*L2(n) - 2*(L1(n) + L2(n)) + 4
Indicando con P(n) = L1(n)*L2(n) possiamo semplificare la scrittura dell'espressione precedente in:
NK5(n) = P(n) - 2S(n) + 4
Considerando tutti i casi possibili:
NK5(0) = 0
NK5(1) = 0
NK5(2) = 0
NK5(3) = 0
NK5(n) = P(n) - 2S(n) + 4, per n > 3
Le quantità S(n) e P(n) assumono i seguenti valori:
S(n) = 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, ...
P(n) = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...
Quest'ultima è chiaramente sintetizzabile nella formula:
P(n) = 2^n
Wednesday, July 29, 2009
Magia matematica (18.4). Tacche e fori
La generalizzazione del gioco del foglio con le tacche e i buchi richiede l'introduzione di alcuni elementi su cui poter operare.
La prima cosa da osservare è che nella sequenza di operazioni (1) piegatura del foglio, (2) ritaglio delle tacche, (3) ritorno alle dimensioni originali del foglio, si può notare come le tracce lasciate sul foglio portano a un numero limitato di configurazioni. Per l'esattezza queste configurazioni sono cinque; le possiamo indicare con K[1], K[2], K[3], K[4] e K[5].
La configurazione K[1] si trova solo nel caso si decidesse di fare quattro tacche sul foglio di partenza senza piegarlo (se n rappresenta il numero di piegature siamo dunque nel caso n = 0). Questa situazione "a piegature zero" porterebbe ad avere quattro tacche e zero buchi. Procedendo a effettuare una, due, tre, ... piegature questa configurazione viene persa.
Possiamo anche indicare la configurazione K[1] come 4T-0B/2 (questa scrittura sarà chiara tra poco).
La configurazione successiva - K[2] - compare alla prima piegatura (n = 1). Piegando il foglio in due, effettuando i ritagli e tornando alle dimensioni originali, si può notare come il foglio di partenza appaia suddiviso in due rettangoli più piccoli che sono del tutto simmetrici e hanno la seguente caratteristica: tre dei loro quattro tagli sono tacche vere e proprie, l'altro taglio va invece a formare un buco.
Potremmo allora indicare questa configurazione come 3T-1B/2. Questa scrittura sintetizza il fatto che i quattro tagli di ciascun sottorettangolo sono distribuiti in modo tale che tre vanno a formare delle tacche (3T) e uno va a formare un buco, quest'ultimo taglio è cioè un "mezzo buco" (1B/2).
Anche questa configurazione è unica e sparisce a partire da due piegature in avanti.
La terza configurazione K[3] appare a partire dalla seconda piegatura (n = 2). I sottorettangoli di questo tipo si trovano sempre negli quattro angoli del foglio di partenza e sono caratterizzati dall'avere due tagli che originano delle tacche e due tagli che originano dei buchi; si può quindi usare l'indicazione 2T-2B/2.
Il numero di queste configurazioni è sempre uguale a 4.
La configurazione K[4] appare per n >=3. Questi sottorettangoli compaiono nelle posizioni perimetrali del foglio iniziale a esclusione dei quattro angoli, già occupati dalle configurazioni K[3].
Possiamo indicarle come 1T-3B/2 perché hanno un solo taglio che genera tacche e gli altri tre danno luogo a dei buchi. Il numero di queste configurazioni, come vedremo nei prossimi post, cresce al crescere di n.
Infine abbiamo la configurazione K[5]; questi sottorettangoli, che occupano sempre posizioni centrali (non perimetrali), sono presenti a partire da n = 4 e possono essere indicati come 0T-4B/2: tutti e quattro i tagli generano cioè dei buchi. Anche in questo caso il loro numero cresce al crescere di n.
La prima cosa da osservare è che nella sequenza di operazioni (1) piegatura del foglio, (2) ritaglio delle tacche, (3) ritorno alle dimensioni originali del foglio, si può notare come le tracce lasciate sul foglio portano a un numero limitato di configurazioni. Per l'esattezza queste configurazioni sono cinque; le possiamo indicare con K[1], K[2], K[3], K[4] e K[5].
La configurazione K[1] si trova solo nel caso si decidesse di fare quattro tacche sul foglio di partenza senza piegarlo (se n rappresenta il numero di piegature siamo dunque nel caso n = 0). Questa situazione "a piegature zero" porterebbe ad avere quattro tacche e zero buchi. Procedendo a effettuare una, due, tre, ... piegature questa configurazione viene persa.
Possiamo anche indicare la configurazione K[1] come 4T-0B/2 (questa scrittura sarà chiara tra poco).
La configurazione successiva - K[2] - compare alla prima piegatura (n = 1). Piegando il foglio in due, effettuando i ritagli e tornando alle dimensioni originali, si può notare come il foglio di partenza appaia suddiviso in due rettangoli più piccoli che sono del tutto simmetrici e hanno la seguente caratteristica: tre dei loro quattro tagli sono tacche vere e proprie, l'altro taglio va invece a formare un buco.
Potremmo allora indicare questa configurazione come 3T-1B/2. Questa scrittura sintetizza il fatto che i quattro tagli di ciascun sottorettangolo sono distribuiti in modo tale che tre vanno a formare delle tacche (3T) e uno va a formare un buco, quest'ultimo taglio è cioè un "mezzo buco" (1B/2).
Anche questa configurazione è unica e sparisce a partire da due piegature in avanti.
La terza configurazione K[3] appare a partire dalla seconda piegatura (n = 2). I sottorettangoli di questo tipo si trovano sempre negli quattro angoli del foglio di partenza e sono caratterizzati dall'avere due tagli che originano delle tacche e due tagli che originano dei buchi; si può quindi usare l'indicazione 2T-2B/2.
Il numero di queste configurazioni è sempre uguale a 4.
La configurazione K[4] appare per n >=3. Questi sottorettangoli compaiono nelle posizioni perimetrali del foglio iniziale a esclusione dei quattro angoli, già occupati dalle configurazioni K[3].
Possiamo indicarle come 1T-3B/2 perché hanno un solo taglio che genera tacche e gli altri tre danno luogo a dei buchi. Il numero di queste configurazioni, come vedremo nei prossimi post, cresce al crescere di n.
Infine abbiamo la configurazione K[5]; questi sottorettangoli, che occupano sempre posizioni centrali (non perimetrali), sono presenti a partire da n = 4 e possono essere indicati come 0T-4B/2: tutti e quattro i tagli generano cioè dei buchi. Anche in questo caso il loro numero cresce al crescere di n.
Tuesday, July 28, 2009
Magia matematica (18.3). Tacche e fori
La risposta al quesito propost nel post "magia matematica (18.1)" è 12 tacche e 10 buchi.
Magia matematica (18.2). Tacche e fori
Questo gioco è stato tratto dal testo Pitagora Si Diverte 2. 73 Giochi Matematici di Gilles Cohen (2003, Edizioni Bruno Mondadori). Nei prossimi post verrà presentata la soluzione al quesito e si fornirà una generalizzazione del problema per un foglio con n piegature.
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