La generalizzazione del gioco del foglio con le tacche e i buchi richiede l'introduzione di alcuni elementi su cui poter operare.
La prima cosa da osservare è che nella sequenza di operazioni (1) piegatura del foglio, (2) ritaglio delle tacche, (3) ritorno alle dimensioni originali del foglio, si può notare come le tracce lasciate sul foglio portano a un numero limitato di configurazioni. Per l'esattezza queste configurazioni sono cinque; le possiamo indicare con K[1], K[2], K[3], K[4] e K[5].
La configurazione K[1] si trova solo nel caso si decidesse di fare quattro tacche sul foglio di partenza senza piegarlo (se n rappresenta il numero di piegature siamo dunque nel caso n = 0). Questa situazione "a piegature zero" porterebbe ad avere quattro tacche e zero buchi. Procedendo a effettuare una, due, tre, ... piegature questa configurazione viene persa.
Possiamo anche indicare la configurazione K[1] come 4T-0B/2 (questa scrittura sarà chiara tra poco).
La configurazione successiva - K[2] - compare alla prima piegatura (n = 1). Piegando il foglio in due, effettuando i ritagli e tornando alle dimensioni originali, si può notare come il foglio di partenza appaia suddiviso in due rettangoli più piccoli che sono del tutto simmetrici e hanno la seguente caratteristica: tre dei loro quattro tagli sono tacche vere e proprie, l'altro taglio va invece a formare un buco.
Potremmo allora indicare questa configurazione come 3T-1B/2. Questa scrittura sintetizza il fatto che i quattro tagli di ciascun sottorettangolo sono distribuiti in modo tale che tre vanno a formare delle tacche (3T) e uno va a formare un buco, quest'ultimo taglio è cioè un "mezzo buco" (1B/2).
Anche questa configurazione è unica e sparisce a partire da due piegature in avanti.
La terza configurazione K[3] appare a partire dalla seconda piegatura (n = 2). I sottorettangoli di questo tipo si trovano sempre negli quattro angoli del foglio di partenza e sono caratterizzati dall'avere due tagli che originano delle tacche e due tagli che originano dei buchi; si può quindi usare l'indicazione 2T-2B/2.
Il numero di queste configurazioni è sempre uguale a 4.
La configurazione K[4] appare per n >=3. Questi sottorettangoli compaiono nelle posizioni perimetrali del foglio iniziale a esclusione dei quattro angoli, già occupati dalle configurazioni K[3].
Possiamo indicarle come 1T-3B/2 perché hanno un solo taglio che genera tacche e gli altri tre danno luogo a dei buchi. Il numero di queste configurazioni, come vedremo nei prossimi post, cresce al crescere di n.
Infine abbiamo la configurazione K[5]; questi sottorettangoli, che occupano sempre posizioni centrali (non perimetrali), sono presenti a partire da n = 4 e possono essere indicati come 0T-4B/2: tutti e quattro i tagli generano cioè dei buchi. Anche in questo caso il loro numero cresce al crescere di n.
