Il calcolo della numerosità delle configurazioni K[1], K[2], ..., K[5] può essere fatto a partire da n, L1 e L2, avendo indicato con n il numero di piegature (n = 0, 1, 2, ...), con L1 il primo lato del foglio da cui si cominciano le piegature e con L2 il secondo lato (le piegature avvengono alternativamente lungo L1 e L2).
Possiamo indicare con L1(n) e L2 (n) il numero di sottorettangoli in cui vengono suddivisi i lati L1 e L2 del foglio originale dopo n piegature. Per esempio, se L1 è il lato lungo, dopo la prima piegatura si avrà L1(1) = 2 e L2(1) = 1; la seconda piegatura avverrà lungo il lato L2 e dunque si avrà L1(2) = 2, L2(2) = 2; alla terza piegatura si avrà L1(3) = 4, L2(3) = 2, e così via.
In generale:
L1(0) = 1, L2(0) = 1
L1(1) = 2, L2(1) = 1
L1(2) = 2, L2(2) = 2
L1(3) = 4, L2(3) = 2
L1(4) = 4, L2(4) = 4
L1(5) = 8, L2(5) = 4
...
con L2(n) = L1(n - 1) per n >= 1.
Possiamo ora contare le diverse configurazioni (per semplicità indichiamo con NK1(n), NK2(n), ..., NK5(n) il numero di configurazioni K[1], K[2], ..., K[5] al variare di n).
Per le prime tre configurazioni si può procedere in modo molto semplice.
Per K[1] si ha:
NK1(0) = 1
NK1(n) = 0, per n > 0
Per K[2] si ha:
NK2(1) = 2
NK2(n) = 0, per n <> 1
Per K[3] si ha:
NK3(0) = 0
NK3(1) = 0
NK3(n) = 4, per n > 1
Il calcolo della numerosità delle ultime due configurazioni è invece meno immediato.
Per K[4] si è già detto che queste configurazioni sono tante quante sono le posizioni perimetrali dei sottorettangoli. Si può dunque scrivere:
NK4(n) = 2*(L1(n) - 2) + 2*(L2(n) - 2) =
= 2*(L1(n) + L2(n) - 4)
Se indichiamo con S(n) = L1(n) + L2(n) possiamo riscrivere l'espressione precedente come:
NK4(n) = 2S(n) - 8
E considerando tutti i casi possibili:
NK4(0) = 0
NK4(1) = 0
NK4(2) = 0
NK4(n) = 2S(n) - 8, per n > 2
Nel caso di K[5] si è invece osservato che queste configurazioni corrispondono alle posizioni centrali. Possiamo allora scrivere:
NK5(n) = (L1(n) - 2)*(L2(n) - 2) =
= L1(n)*L2(n) - 2*(L1(n) + L2(n)) + 4
Indicando con P(n) = L1(n)*L2(n) possiamo semplificare la scrittura dell'espressione precedente in:
NK5(n) = P(n) - 2S(n) + 4
Considerando tutti i casi possibili:
NK5(0) = 0
NK5(1) = 0
NK5(2) = 0
NK5(3) = 0
NK5(n) = P(n) - 2S(n) + 4, per n > 3
Le quantità S(n) e P(n) assumono i seguenti valori:
S(n) = 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, ...
P(n) = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...
Quest'ultima è chiaramente sintetizzabile nella formula:
P(n) = 2^n
