Curiosità numeriche (11)

Numeri absurdi. Così, ancora intorno al 1520, erano definiti i numeri negativi. Questa espressione (utilizzata per la prima volta dal matematico tedesco Michael Stifel in una sua pubblicazione) fa ben comprendere le difficoltà cui si trovava di fronte la comunità scientifica del tempo nel tentativo di ampliare il concetto di numero.

Curiosità numeriche (10)

I cosiddetti numeri quadrati sono stati definiti in questo modo per la prima volta da Pitagora, circa cinque secoli e mezzo prima di Cristo. Si tratta di numeri che, se espressi in termini di punti, possono essere disposti su una griglia a formare un quadrato. Provate ad esempio con i primi quattro numeri (1, 4, 9, 16) e vedrete quanto è semplice. Una proprietà dei numeri quadrati è la seguente: il numero quadrato n^2 può essere espresso come somma dei primi n numeri dispari consecutivi.

1^2 = 1 = 1
2^2 = 4 = 1 + 3
3^2 = 9 = 1 + 3 + 5
4^2 = 16 = 1 + 3 + 5 + 7
5^2 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
...

Curiosità numeriche (9)

Dei numeri perfetti (uguali alla somma dei divisori escluso il numero stesso) si è detto e scritto molto, ma c'è una proprietà che ancora oggi è scarsamente conosciuta: la somma dei reciproci dei divisori di un numero perfetto è sempre uguale a 2.

Curiosità numeriche (8)

Tutti sanno che cos'è un quadrato perfetto, ma - ci si potrebbe domandare - esiste un criterio per scartare numeri molto grandi che con certezza non sono quadrati perfetti? La risposta è sì, ed è anche piuttosto semplice: nessun quadrato perfetto può terminare per 2, 3, 7 o 8.

Curiosità numeriche (7)

Alcuni di voi avranno sentito parlare dei numeri primi gemelli, quelle paricolari coppie di numeri primi la cui differenza è pari a 2. Esempi di numeri primi gemelli sono le coppie (3, 5), (5, 7), (11, 13).
Quanti sono questi numeri? Si ipotizza che siano infiniti, ma per ora nessuno lo sa, nel senso che non esiste né una dimostrazione né un controesempio (e per il Teorema di Gödel potrebbe essere addirittura un caso di indecidibilità). Non a caso si parla di congettura dei numeri primi gemelli, di fatto un problema formulato da Euclide circa 2.300 anni fa e ancora oggi irrisolto (altro che Ultimo Teorema di Fermat!).

Guardando alla sequenza (3, 5, 7) ci si potrebbe invece chiedere quante sono le terne gemelle di numeri primi, ovvero triplette di numeri primi con differenze pari a 2. Se non avete mai sentito parlare di queste terne non è per vostra ignoranza, ma semplicemente per il fatto che quella scritta sopra è l'unica terna di questo tipo. Non ne esistono altre. E la dimostrazione è talmente elementare che basta citarla: data qualunque terna di numeri dispari successivi, esiste sempre un numero divisibile per 3. Osserviamo le triplette scritte di seguito:

1, 3, 5 (3)
3, 5, 7 (3)
5, 7, 9 (9)
7, 9, 11 (9)
9, 11, 13 (9)
11, 13, 15 (15)
13, 15, 17 (15)
15, 17, 19 (15)
17, 19, 21 (21)
...

Ho scritto a destra il numero divisibile per 3 (si vede benissimo la regolarità con cui questi numeri si susseguono). La prima terna non è gemella perché 1 non è un numero primo. La seconda è gemella: contiene il numero 3 che è primo. Tutte le altre contengono un numero divisibile per 3, dunque non primo.

Curiosità numeriche (6)

Si chiamano sinceri quei numeri la cui rappresentazione mediante display digitale ha un numero di barrette luminose esattamente uguale al numero stesso.

Per i primi nove numeri naturali non è difficile osservare lo schema seguente:

1, due barrette, non sincero

2, cinque barrette, non sincero

3, cinque barrette, non sincero

4, quattro barrette, sincero

5, cinque barrette, sincero

6, sei barrette, sincero

7, tre (o quattro) barrette, non sincero

8, sette barrette, non sincero

9, sei barrette, non sincero

Se si passa al campo dei numeri a due cifre la definizione di sincerità matematica necessita di una precisazione: in questo caso devo considerare i numeri equivalenti alla somma delle loro due cifre. E così si scopre ad esempio:

11 (= 2), quattro barrette, non sincero

...

46 (= 10), dieci barrette, sincero

...

92 (= 11), undici barrette, sincero

...

99 (= 18), dodici barrette, non sincero

Non è difficile notare come numeri a due cifre composti da singole cifre sincere sono sempre sinceri (come per il 46), ma la sincerità si può ottenere anche partendo da numeri a cifre non sincere (come 18, 81 e 92).

Curiosità numeriche (5)

Esiste una particolare tipologia di numeri interi positivi che hanno la proprietà di essere divisibili per la somma delle loro cifre. Questi numeri sono detti di Harshad (o talvolta di Niven).

Ecco la sequenza dei numeri di Harshad compresi tra 1 e 100:

10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100

Curiosità numeriche (4)

Il numero 37 sembra avere un paio di proprietà curiose. Vediamo innanzitutto cosa succede se lo moltiplichiamo per la successione 3, 6, 9, ..., 24, 27:

3*37 = 111
6*37 = 222
9*37 = 333
12*37 = 444
15*37 = 555
18*37 = 666
21*37 = 777
24*37 = 888
27*37 = 999

Si noti anche che sommando le cifre di 111, 222, ..., 999 otteniamo esattamente i termini della successione di partenza 3, 6, ..., 27.

La seconda proprietà ci dice che 37 è l'unico numero di due cifre che moltiplicato per la somma delle sue cifre dà lo stesso risultato che si ottiene sommando i cubi di tali cifre:

37*(3 + 7) = 37*10 = 370
3^3 + 7^3 = 27 + 343 = 370

Curiosità numeriche (3)

Alcuni numeri sono detti ciclici (o circolari); la lora caratteristica è questa: sottoposti ad alcune operazioni elementari danno come risultato sempre le stesse cifre del numero di partenza, che girano come se l'ultima fosse attaccata alla prima.

Il numero ciclico più piccolo dopo l'1 (caso banale) è 142.857. Ecco cosa succede se lo si moltiplica per i primi sei numeri naturali:

142.857*1 = 142.857
142.857*2 = 285.714
142.857*3 = 428.571
142.857*4 = 571.428
142.857*5 = 714.285
142.857*6 = 857.142

Moltiplicandolo per 7 si ottiene invece:

142.857*7 = 999.999

Questo risultato è un caso particolare di una legge più generale: ogni numero ciclico di n cifre, se moltplicato per n+1, dà un numero composto da soli 9.

Se spezziamo il numero 142.857 in gruppi di due o tre cifre, e poi le sommiamo, possiamo notare un'altra proprietà:

142 + 857 = 999
14 + 28 + 57 = 99

Dalla prima si deduce facilmente un altro fatto: sapendo che un numero è ciclico possiamo conoscerlo per intero se sono note anche solo metà delle sue cifre.

Infine va segnalato che i numeri ciclici sono strettamente legati ai reciproci di alcuni numeri primi: se dividendo 1 per un numero primo p si ottiene un periodo di lunghezza p-1 allora il periodo è un numero ciclico.
Nel caso del numero in esame la relazione è con il 7:

1/7 = 0,142857142857142857...

Curiosità numeriche (2)

Operando su opportuni numeri con operazioni aritmetiche elementari (di solito addizione e moltiplicazione) si possono ottenere altri numeri con caratteristiche molto particolari: ad esempio costituiti da cifre tutte identiche o disposte in sequenza decrescente.
Quando ciò si verifica si parla di prodotti singolari. Ecco alcuni esempi:

1*9 + 2 = 11
12*9 + 3 = 111
123*9 + 4 = 1.111
1.234*9 + 5 = 11.111
12.345*9 + 6 = 111.111
123.456*9 + 7 = 1.111.111
1.234.567*9 + 8 = 11.111.111
12.345.678*9 + 9 = 111.111.111

9*9 + 7 = 88
98*9 + 6 = 888
987*9 + 5 = 8.888
9.876*9 + 4 = 88.888
98.765*9 + 3 = 888.888
987.654*9 + 2 = 8.888.888
9.876.543*9 + 1 = 88.888.888
98.765.432*9 + 0 = 888.888.888

1*8 + 1 = 9
12*8 + 2 = 98
123*8 + 3 = 987
1.234*8 + 4 = 9.876
12.345*8 + 5 = 98.765
123.456*8 + 6 = 987.654
1.234.567*8 + 7 = 9.876.543
12.345.678*8 + 8 = 98.765.432
123.456.789*8 + 9 = 987.654.321

12.345.679*9 = 111.111.111
12.345.679*8 = 98.765.432

Esempi come questi (ne esistono altri) sono poco più che delle curiosità, va però detto che dietro alla teoria dei prodotti singolari ritroviamo le basi di molti giochi matematici, a partire da quelli che consistono nell'indovinare un numero pensato da altri.

Curiosità numeriche (1)

In matematica esistono dei numeri molto bizzarri detti numeri narcisisti; la loro particolarità è quella di avere un valore pari alla somma dei cubi delle cifre di cui sono composti (per esempio, 153 = 1^3 + 5^3 + 3^3 = 1 + 125 + 27 = 153).

Se si dispone di un foglio di calcolo come Excel si possono calcolare, ad esempio, i numeri narcisisti compresi tra 1 e 65.536. Si scoprirà che sono i seguenti:

1 (caso banale)
153
370
371
407

Ci si potrebbe chiedere quanti altri numeri si troverebbero se si immaginasse di avere una versione di Excel che prosegue all'infinito; la risposta è che non esistono altri numeri di questo tipo.

In realtà i numeri narcisisti possono essere di tante tipologie quante sono le possibili potenze intere applicabili alle loro cifre.
Se scegliamo la potenza 4 i numeri narcisisti sono 1.634, 8.208, 9.474; con potenza pari a 6 c'è il solo numero 548.834, e via di questo passo.