Alcuni di voi avranno sentito parlare dei numeri primi gemelli, quelle paricolari coppie di numeri primi la cui differenza è pari a 2. Esempi di numeri primi gemelli sono le coppie (3, 5), (5, 7), (11, 13).
Quanti sono questi numeri? Si ipotizza che siano infiniti, ma per ora nessuno lo sa, nel senso che non esiste né una dimostrazione né un controesempio (e per il Teorema di Gödel potrebbe essere addirittura un caso di indecidibilità). Non a caso si parla di congettura dei numeri primi gemelli, di fatto un problema formulato da Euclide circa 2.300 anni fa e ancora oggi irrisolto (altro che Ultimo Teorema di Fermat!).
Guardando alla sequenza (3, 5, 7) ci si potrebbe invece chiedere quante sono le terne gemelle di numeri primi, ovvero triplette di numeri primi con differenze pari a 2. Se non avete mai sentito parlare di queste terne non è per vostra ignoranza, ma semplicemente per il fatto che quella scritta sopra è l'unica terna di questo tipo. Non ne esistono altre. E la dimostrazione è talmente elementare che basta citarla: data qualunque terna di numeri dispari successivi, esiste sempre un numero divisibile per 3. Osserviamo le triplette scritte di seguito:
1, 3, 5 (3)
3, 5, 7 (3)
5, 7, 9 (9)
7, 9, 11 (9)
9, 11, 13 (9)
11, 13, 15 (15)
13, 15, 17 (15)
15, 17, 19 (15)
17, 19, 21 (21)
...
Ho scritto a destra il numero divisibile per 3 (si vede benissimo la regolarità con cui questi numeri si susseguono). La prima terna non è gemella perché 1 non è un numero primo. La seconda è gemella: contiene il numero 3 che è primo. Tutte le altre contengono un numero divisibile per 3, dunque non primo.
