Magia matematica (25.1). Composizione di triangoli rettangoli

Sia dato un triangolo ABC rettangolo in B appoggiato al cateto AB che ne funge da base. Immaginiamo di costruire sull'ipotenusa AC un nuovo triangolo rettangolo, simile al precedente, e reiteriamo il processo indefinitamente.

Siano:

AB = a(1) = a
BC = b(1) = b
AC = c(1) = c

Ci chiediamo come è possibile esprimere i valori di a(n), b(n) e c(n) del triangolo n-esimo in funzione di a, b e c.

Osserviamo innanzitutto che la base del secondo triangolo è uguale all'ipotenusa del primo, che la base del terzo triangolo è uguale all'ipotenusa del secondo, e così via; vale dunque la relazione:

a(n) = c(n-1)   [1]

In secondo luogo, data la similitudine costruttiva, si può dire che:

b(n)/a(n) = b/a

Da cui:

b(n) = a(n)*b/a

Che, in base alla [1], diventa:

b(n) = c(n-1)*b/a   [2]

Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo di partenza sappiamo che:

c^2 = a^2 + b^2

Passando al secondo triangolo vale:

[c(2)]^2 = [a(2)]^2 + [b(2)]^2

E sostituendo la [1] e la [2]:

[c(2)]^2 = c^2 + [c^2]*(b/a)^2 = (a^2 + b^2)*[1 + (b/a)^2]

Per il terzo triangolo si ha:

[c(3)]^2 = [a(3)]^2 + [b(3)]^2

Sostituendo la [1] e la [2] si ottiene:

[c(3)]^2 = [c(2)]^2 + ([c(2)]^2)*(b/a)^2

E utilizzando il valore di [c(2)]^2 precedentemente trovato si perviene a:

[c(3)]^2 = (a^2 + b^2)*[1 + (b/a)^2]^2

Se proseguiamo in maniera analoga non è difficile derivare il seguente risultato generale:

[c(n)]^2 = (a^2 + b^2)*[1 + (b/a)^2]^(n-1)

O, equivalentemente:

[c(n)]^2 = (a^2)*[1 + (b/a)^2]^n   [3]

Infine, indicato per semplicità con q il rapporto b/a, la [3] si può anche scrivere come:

[c(n)]^2 = (a^2)*[1 + q^2]^n   [4]

Da cui il valore di c(n):

c(n) = a*(1 + q^2)^(n/2)   [5]

Noto c(n), per sostituzione nelle [1] e [2] si possono ora calcolare i valori di a(n) e b(n):

a(n) = a*(1 + q^2)^[(n-1)/2]   [6]

b(n) = aq*(1 + q^2)^[(n-1)/2]   [7]