Dei motivi di attrazione esercitati da questa antica branca della matematica parlerò magari in un'altra occasione. In questa sede voglio invece proporre un approccio metodologico per la determinazione delle equazioni delle rette che possa permettere agli studenti in difficoltà di superare dubbi e incertezze.
La determinazione dell'equazione di una retta, nella maggior parte dei casi, è un problema che può essere affrontato con uno schema allo stesso tempo rigoroso e semplice. Fondamentalmente si tratta di porsi due domande.
La prima è la seguente: esistono elementi contenuti nel testo del problema che mi permettano di capire se utilizzare l'equazione (1) y = mx + q oppure l'equazione (2) x = k? Entrambe queste equazioni rappresentano una parzialità di rette del piano, la loro unione rappresenta invece tutte le rette del piano. Per maggiori informazioni sull'argomento si vedano due miei post recenti: Un po' di chiarezza sulle equazioni delle rette (1/2) e Un po' di chiarezza sulle equazioni delle rette (2/2).
In termini più semplici la domanda può essere riformulata come segue: esistono elementi contenuti nel testo del problema che mi permettano di capire se la retta di cui si cerca l'equazione è non verticale o verticale?
Nella maggioranza dei casi questi elementi esistono e sono anche piuttosto facili da scovare. Una volta trovati ci si potrà orientare verso l'equazione (1) oppure verso l'equazione (2).
Il caso di rette verticali è solitamente molto semplice: si tratta infatti di cercare nel testo del problema un elemento che permetta di determinare il parametro k (ad esempio il passaggio per un punto dato).
Il caso di rette non verticali, per quanto semplice, ha invece una complessità maggiore. L'equazione di partenza è y = mx + q e quel che deve fare lo studente è cercare le due informazioni (o condizioni) che permettano di determinare i parametri m e q.
La seconda domanda è infatti la seguente: quali sono le due condizioni contenute nei dati del problema attraverso cui calcolare i parametri m e q?
È fondamentale comprendere che se esistono due parametri (m e q) dovranno esistere due condizioni che consentano di determinarli. Di fatto si dovrà risolvere un sistema di due equazioni nelle due incognite m e q.
In molti problemi classici questa coppia di condizioni si riduce a una casistica semplice; ecco tre esempi: (a) passaggio per due punti, (b) passaggio per un punto e parallelismo a una retta, (c) passaggio per un punto e perpendicolarità a una retta. Il sistema di due equazioni in due incognite è spesso così semplice che lo studente non percepisce nemmeno il problema in questa forma.
Quello che sconsiglio è il ricorso alla varie formule che oggi tutti i testi propongono. Se ci sono formule da imparare a memoria queste devono essere formule fondamentali, e quelle per determinare un'equazione di una retta, ad esempio per due punti, non lo sono affatto.
Per rimanere al caso del passaggio per due punti basterà sostituire al posto di x e y le coordinate del primo punto nell'quazione y = mx + q, quindi fare la stessa cosa con le coordinate del secondo punto; si ottengono così due equazioni in m e q che, messe a sistema, permettono di individuare i parametri cercati e dunque l'equazione della retta.
Per riassumere possiamo dire che la determinazione dell'equazione di una retta consiste in due passi: (a) scegliere la forma di equazione appropriata tra y = mx + q e x = k, (2) nel caso in cui la forma dell'equazione sia y = mx + q cercare nei dati del problema le due condizioni che consentano di determinare i valori di m e q.
