Nell'affrontare lo studio delle rette moltissimi studenti sono erroneamente convinti che esista una sostanziale intercambiabilità tra le due forme d'equazione seguenti:
(1) ax + by + c = 0
(2) y = mx + q
La prima, detta anche equazione in forma implicita, rappresenta tutte le rette del piano (e allo stesso modo si può dire che tutte le rette del piano sono rappresentabili mediante quel tipo di equazione); la seconda invece no; quest'ultima (che è evidentemente un'equazione in forma esplicita) rappresenta infatti tutte le rette del piano con l'eccezione di quelle verticali.
Per rendersi conto della differenza riordiniamo la prima come by = -ax - c. Volendo trasformare questa equazione nella forma y = mx + q è necessario dividere entrambi i membri per b, cosa che è possibile purché b sia diverso da zero. Si ha dunque y = -(a/b)x - c/b e, ponendo m = -a/b e q = -c/b, si ha l'equivalenza cercata.
Il caso b = 0 è dunque ciò che rende le due forme di equazione non sovrapponibili, con la (1) a rappresentare tutte le rette del piano e la (2) a rappresenarne una parzialità.
Le rette verticali sono invece rappresentabili mediante l'equazione x = k, ottenibile dalla (1) dopo aver riordinato in ax = -by - c , posto b = 0 e diviso entrambi i membri per a (a patto, come al solito, che il coefficiente a non sia nullo).
Per fare un po' di ordine è dunque corretto (e fondamentale) dire che, date le tre equazioni seguenti
(1) ax + by + c = 0
(2) y = mx + q
(3) x = k
la (1) è equivalente all'unione di (2) e (3).
