Generalizzando il risultato del post precedente possiamo ossevare come variano alcune grandezze coinvolte nel problema: lunghezza della corda, incremento della lunghezza della corda, circonferenza.
La lunghezza della corda il giorno n è data da
r(n) = radq(n)*r(1)
Se per semplicità passiamo dalle grandezze discrete (n) a quelle continue (x) e poniamo r(1) = r si ha
r(x) = r*radq(x)
che si può anche scrivere come
r(x) = rx^(1/2)
Ne segue che la corda ha una crescita polinomiale secondo l'esponente 0,5; in pratica la crescita è descritta da una parabola con asse orizzontale.
L'incremento della corda si può ottenere calcolando la derivata di r(x), ovvero
i(x) = (1/2)*rx^(-1/2)
Dunque la quantità di corda che serve per incrementare la lunghezza iniziale decresce secondo un andamento polinomiale di esponente -0,5. La cosa è intutiva: ogni giorno la corda si allunga ma di una quantità via via minore.
Qui è necessaria una certa precisione terminologica: la corda si allunga sempre, dunque la lunghezza r(x) è una quantità crescente, invece l'incremento della corda decresce, dunque l'incremento della lunghezza i(x) è una quantità decrescente.
Infine la circonferenza è data da
c(x) = 2πrx^(1/2)
Dunque la sua variazione ha lo stesso andamento parabolico visto per la lunghezza della corda.
