Nel gioco della pecora al pascolo si è visto che alcune grandezze (la lunghezza della corda e la circonferenza della corona circolare) crescono secondo un andamento parabolico.
Nello specifo la parabola presa in considerazione ha l'asse parallelo all'asse delle ascisse (orizzontale). Una parabola di questo tipo è caratterizzata da una crescita legata alla funzione x^0,5. Se la parabola fosse stata con asse parallelo all'asse delle ordinate (verticale) la sua crescita, invece, sarebbe stata proporzionale alla funzione x^2.
Per valori crescenti di x entrambe le funzioni diventano molto grandi e per x che tende all'infinito entrambe tendono all'infinito. Ma lo fanno in modo molto diverso: è cioè diversa la velocità con cui le due funzioni si avvicinano all'infinito.
Possiamo renderci conto di quanto detto con un semplice esempio numerico: di seguito riporto una tabella in cui, al variare di x (primo elemento), vengono mostrati i valori delle due funzioni x^0,5 e x^2 (secondo e terzo elemento).
[1] [1] [1]
[2] [1,41] [4]
[3] [1,73] [9]
...
[9] [3] [81]
[10] [3,16] [100]
...
[99] [9,95] [9.801]
[100] [10] [10.000]
...
[1.000] [31,62] [1.000.000]
...
Questi primi valori rendono molto bene la lentezza della funzione x^0,5 rispetto alla funzione x^2.
La seconda funzione è più veloce della prima secondo un rapporto x^1,5, che è poi il rapporto delle funzioni stesse. x^1,5 è essa stessa una funzione ed è anch'essa polinomiale, anche se in questo caso l'esponente 1,5 non aurorizza a parlare di parabola.
Generalizzando si può dire che una funzione polinomiale x^p (con p > 0) tende all'infinito tanto più velocemente quanto maggiore è il suo esponente p.
In questo esempio stiamo considerando solo quello che succede nel caso di valori positivi, dunque l'espressione "tende all'infinito" significa in realtà "tende all'infinito positivo".
