TPC. Tranelli probabilistici comuni (1/2)

Il Calcolo delle Probabilità è una delle discipline scientifiche in cui si registra il maggior numero di risultati in disaccordo con la nostra intuizione; di ciò, per esempio, ne avevo già parlato il 5 Novembre 2008 nel post Magia matematica (3); in quell'occasione si era discusso del cosiddetto paradosso del compleanno.

Esistono tuttavia molti altri esempi, alcuni dei quali davvero semplici e istruttivi.

Immaginiamo per di lanciare quattro volte la classica moneta non truccata; a ogni lancio le occorrenze "testa" (T) e "croce" (C) hanno entrambe la stessa probabilità di accadimento, ovvero 1/2. Prendiamo ora due sequenze come TTTT e CTCC. Se ci chiediamo quale delle due è più casuale verrà abbastanza intuitivo pensare alla seconda (potete facilmente verificarlo di persona proponendo il quesito ad amici, colleghi e parenti).

Come stanno veramente le cose? Dopo quattro lanci si possono avere le seguenti 16 occorrenze:

TTTT

TTTC

TTCT

TTCC

TCTT

TCTC

TCCT

TCCC

CTTT

CTTC

CTCT

CTCC

CCTT

CCTC

CCCT

CCCC

E ciascuna di esse ha esattamente probabilità 1/16; dunque, per tornare al nostro problema, le sequenze TTTT e CTCC hanno la stessa probabilità di uscita, cosa che è appunto abbastanza controintuitiva (e per taluni sorprendente).

Potrebbe invece essere più interessante tentare di spiegare perché un risultato del genere va contro il nostro buon senso. Il nostro cervello, confrontandosi continuamente con una gran quantità di eventi quotidiani, ha appreso che gli schemi (come TTTT) sono numericamente piuttosto rari (cosa vera) e ciò ci conduce a pensare (spesso erroneamente) che esista un legame tra casualità e disarmonia. In realtà quello che la nostra mente compie è un confronto, non tra i singoli eventi, ma tra insiemi contenenti una diversa numerosità di eventi. Nel nostro esempio la sequenza TTTT viene vista come un qualcosa di unico (pari solo all'altro estremo CCCC) e confrontata (ed è qui l'errore) non con la singola sequenza CTCC, ma con tutte quelle simili: TCCC, CTCC, CCTC, CCCT. Questo raffronto "uno contro quattro" ci spinge nell'errore logico che la prima sia meno probabile.

Ma anche se in forma leggermente più raffinata, si tratta in fondo sempre del classico errore "sommare le mele con le pere" che ci hanno insegnato alle scuole elementari.

Per un altro esempio di errore (in questo caso di tipo logico e non probabilistico) si veda il post Logica debole (1). Qui lo dico e qui lo nego del 28 Marzo 2008. Alla base dei due diversi tipi di errore c'è la comune difficoltà umana a operare correttamente con oggetti come gli insiemi e concetti come numerosità e complementarità.