Triangoli dimezzati.
Consideriamo un triangolo isoscele con angoli di 45° e prendiamo la sua ipotenusa come base; sia b la misura della base, h quella dell'altezza e l quella del lato obliquo.
Date le semplici relazioni tra i lati di un triangolo di questo tipo (esattamente pari alla metà di un quadrato) possiamo scrivere:
h = b/2
l = ((1/2)^(1/2))*b
La sua area è:
A = (1/2)*bh = (1/4)*b^2
Ora appoggiamo il triangolo sulla sua base e costruiamo, ad esempio sul suo lato destro, un triangolo di uguale forma che abbia quel lato come nuova base. La figura ottenuta dalle due precedenti è un trapezio rettangolo.
Senza fare tutti i calcoli si può dimostrare facilmente che l'area del secondo triangolo è esattamente la metà di quella del primo.
Procediamo prendendo il lato sinistro del secondo triangolo e costruiamoci sopra un nuovo triangolo della stessa forma (mettendo assieme questi tre triangoli si ottiene un quadrilatero non regolare).
La regola che esprime e sintetizza questo tipo di costruzione è:
b(n) = l(n-1)
Il lato del triangolo precedente diventa la base di quello successivo.
Quindi prendiamo il lato destro del terzo triangolo e ci costruiamo sopra il quarto (la nuova figura risultante torna a essere un trapezio rettangolo). Si va avanti così all'infinito. Ogni triangolo ha superficie metà di quella del precedente.
Le aree formano una progressione geometrica di ragione sociale q = 1/2 e fattore di scala a = (1/4)*b^2
A(0) = ((1/4)*b^2)*(1/2)^0
A(1) = ((1/4)*b^2)*(1/2)^1
A(2) = ((1/4)*b^2)*(1/2)^2
...
A(n-1) = ((1/4)*b^2)*(1/2)^(n-1)
A(n) = ((1/4)*b^2)*(1/2)^n
A(n+1) = ((1/4)*b^2)*(1/2)^(n+1)
...
Che per semplicità riscriviamo come:
A(0) = A*(1/2)^0
A(1) = A*(1/2)^1
A(2) = A*(1/2)^2
...
A(n-1) = A*(1/2)^(n-1)
A(n) = A*(1/2)^n
A(n+1) = A*(1/2)^(n+1)
...
Se si cominciano a disegnare per davvero questi trinagoli su un foglio di carta, dopo cinque o sei passaggi, si ha già l'intuizione corretta: sul lato destro del primo triangolo va materializzandosi una nuova figura che all'infinito sarà identica al tringolo iniziale (l'unica differenza sono la sua posizione e rotazione).
Dalla progressione geometrica si passa alle somme parziali che definiscono la serie geometrica. Ma in questo caso la serie è convergente e possiamo scriverne direttamente il valore limite:
S(∞) = A/(1 - 1/2) = 2A
Si sarebbe ottenuto lo stesso risultato anche cominciando la costruzione dal lato sinistro del primo triangolo, poi passando al destro del secondo, al sinistro del terzo, ecc.
Se invece si portasse avanti questa costruzione senza mai alternare il lato (quindi stando sempre a destra o a sinistra) ne verrebbe fuori una curiosa spirale: molto bella dal punto di vista estetico ma non utile per visualizzare graficamente il concetto di area limite come doppio dell'area iniziale.
La costruzione da noi utilizzata (d, s, d, s, d, s, ...) parte da un triangolo e arriva a un triangolo. Seguendo la regola di costruire il secondo triangolo sul lato destro del primo, il terzo sul lato destro del secondo, il quarto sul lato destro del terzo, il quinto sul lato sinistro del quarto, e da qui in avanti alternando tra destra e sinistra (d, d, d, s, d, s, d, ...), si arriverebbe ad avere un trapezio isoscele.
Invece procedendo con la regola (d, d, s, d, s, d, ...) si otterrebbe un parallelogramma.
