La serie geometrica convergente ha un'applicazione molto interessante: permette di trovare la frazione generatrice dei numeri periodici.
Vediamolo direttamente su alcuni esempi. Date le limitazioni del blog userò due parentesi quadre per indicare le cifre periodiche.
(1) Trovare la frazione generatrice di 0,[7].
Possiamo scrivere questo numero come somma degli infiniti termini
7/10 + 7/100 + 7/1.000 + ...
Raccogliendo 7/10 a fattor comune si ottiene
(7/10)*(1 + 1/10 + 1/100 + ...)
Ovvero
(7/10)*((1/10)^0 + (1/10 )^1 + (1/10)^2 + ...)
La somma evidenzia la sottostante progressione geometrica di ragione 1/10 e fattore di scala 7/10.
La serie geometrica converge a
(7/10)/(1 - 1/10) = 7/9
Che è la frazione generatrice cercata.
(2) Trovare la frazione generatrice di 2,[31].
In questo caso il numero può essere scritto come somma degli infiniti termini
2 + 31/100 + 31/10.000 + ...
Che riorganizziamo come
2 + (31/100)*((1/100)^0 + (1/100)^1 + ...)
Da cui, sfruttando la progressione geometrica di ragione 1/100 e fattore di scala 31/100, si ottiene
2 + (31/100)/(1 - 1/100) =
= 2 + (31/100)/(99/100) =
= 2 + 31/99 = 299/29
(3) Trovare la frazione generatrice di 0,23[911].
Il numero è la somma infinita dei seguenti termini
2 + 23/100 +
+ 911/100.000 + 911/100.000.000 + ...
Dunque
223/100 + (911/100.000)*
*((1/1.000)^0 + (1/1.000)^1 + ...) =
= 223/100 + (911/100.000)/
/(1 - 1/1.000) =
= 223/100 + 911/99.900 =
= 223.688/99.900
