Propongo qui di seguito un altro piccolo gioco matematico su cui è possibile basare qualche scommessa tra amici (e soprattutto vincerla con estrema facilità).
Per questo gioco occorrono due ingredienti: un foglio di carta dello spessore di un millimetro e il Monte Baldo; naturalmente sia il foglio che il monte sono da usare in senso figurato.
Il Monte Baldo, come noto, si trova sulla sponda nord-orientale del Lago di Garda ed è alto 2.218 metri.
Domada: quante volte è necessario ripiegare in due il foglietto di carta affinché il suo spessore sia pari all'altezza del Monte Baldo?
Fate presente che non è importante fornire il numero preciso ma l'ordine di grandezza, e vince chi si avvicina di più al valore esatto.
Chiunque, o quasi, posto di fronte a un quesito del genere, tenderà a riferire numeri molto elevati oppure ancor più spesso a propendere per l'impossibilità.
La realtà è che basterebbe piegare il foglio di carta su sé stesso solo ventuno volte.
Ho usato il condizionale perché si può piegare con facilità un foglio reale solo quattro o cinque volte, dopo insorgono evidenti difficoltà tecniche. L'esperimento va quindi condotto in una dimensione teorica.
Vediamo cosa c'è dietro una soluzione che sembra paradossale.
Nella situazione iniziale (fase 0) lo spessore del foglio è di 1 millimetro; piegando il foglio una volta (fase 1) lo spessore raddoppia a 2 millimetri; piegandolo una seconda volta (fase 2) raddoppia a 4; piegandolo una terza (fase 3) si passa a 8 millimetri, poi (fase 4) a 16, a 32, a 64, e via di seguito. Lo spessore cresce cioè esponenzialmente secondo le potenze di 2, come mostrato qui sotto:
2^0 = 1
2^1 = 2
2^2 = 4
2^3 = 8
2^4 = 16
2^5 = 32
2^6 = 64
2^7 = 128
2^8 = 256
2^9 = 512
2^10 = 1.024
2^11 = 2.048
2^12 = 4.096
2^13 = 8.192
2^14 = 16.384
2^15 = 32.786
2^16 = 65.536
2^17 = 131.072
2^18 = 262.144
2^19 = 524.288
2^20 = 1.048.576
2^21 = 2.097.152
Dividendo per 1.000 si passa dai millimetri ai metri, quindi 2.097, che è circa l'altezza del Monte Baldo.
Piegando il foglio altre due volte si otterrebbe:
2^22 = 4.194.304
2^23 = 8.388.608
Dunque un'altezza, convertita in metri, pari circa a quella dell'Everest.
Variando lo spessore iniziale del foglio varia anche il numero di volte in cui è necessario piegarlo per raggiungere l'altezza prestabilita, ma il risultato continua a rimanere sbalorditivo.
Per esempio, se si usasse un foglio spesso un micron (un millesimo di millimetro), per ottenere lo spessore equivalente all'altezza del Monte Baldo ci vorrebbero 31 operazioni di piegatura:
2^31 = 2.147.483.648
E convertendo dai micron ai metri:
2.147.483.648/1.000.000 = 2.147
