Un gioco molto interessante da proporre è il seguente: immaginiamo che da qualche parte, in un universo parallelo, esista il Pianeta X. Il Pianeta X ha le stesse dimensioni della Terra, ma non ci sono mari né montagne: solo pianure sconfinate. I suoi abitanti, simili agli umani e chiamati X-umani, decidono di costruire un recinto di filo spinato in corrispondenza dell'equatore (che, come quello terrestre, si estende per circa 40.000 km); per il loro progetto hanno a disposizione paletti di legno a volontà e il filo che impiegano ha la lunghezza dell'equatore più un metro. È evidente che il recinto traccia una circonferenza leggermente superiore a quella del pianeta, di conseguenza anche il raggio del recinto è leggermente superiore a quello del pianeta. Ma superiore di quanto? Per esempio, ci si potrebbe chiedere quale forma di vita sarebbe in grado di passare sotto il recinto: un X-virus, un X-batterio, una X-formica, una X-rana, un X-topo, un X-serpente o un X-gatto?
La risposta è: tutti e sette. E senza dubbio può apparire sorprendente: la logica ci induce infatti a pensare che un aumento percentuale insignificante della circonferenza del Pianeta X produca un aumento percentuale altrettanto insignificante del suo raggio. Ma non è così.
Vediamo perché.
Indichiamo con r il raggio (in metri) della circonferenza iniziale, con r+d il raggio della circonferenza finale (dunque d rappresenta l'incremento), con p il valore di pi greco e con C(f) e C(i) rispettivamente le misure in metri delle circonferenze finali e iniziali.
La lunghezza della circonferenza, come noto, è data da:
C = 2*p*r
E noi sappiamo che:
C(f) - C(i) = 1
Dunque sostituendo:
2*p*(r+d) - 2*p*r = 1
2*p*(r+d-r) = 1
2*p*d = 1
Da cui:
d = 1/(2*p) = 0,1591
Cioè poco meno di 16 centimetri, sufficienti a far passare una gran varietà di X-animali.
La spiegazione è nell'ultima formula: l'incremento subito dal raggio dipende solo dalla variazione in lunghezza della circonferenza e non dal valore iniziale del raggio.
