Propongo il seguente gioco: calcolare in modo semplice quanti zeri ci sono tra 1 e 1.000.
Cominciamo col calcorare quanti zeri ci sono tra 1 e 9, tra 10 e 99 e tra 100 e 999; in generale, considerato n un numero intero maggiore di zero (1, 2, 3, ...), tra 10^(n-1) e 10^n - 1 ci sono 9*10^(n-1) numeri di n cifre ciascuno (9 tra 1 e 9, 90 tra 10 e 99, 900 tra 100 e 999); il numero di cifre non primarie (cioè dalla seconda in avanti) in ciascuno degli intervalli visti è 9*(n-1)*10^(n-1), di cui un decimo, ovvero 9*(n-1)*10^(n-2), sono zeri.
Gli zeri negli intervalli 2-10 (per il nostro gioco identico a quello 1-10), 11-100, 101-1.000 si ottengono aggiungendo 1 all'ultima formula:
z(n) = 9*(n-1)*10^(n-2) + 1
Dove con z(n) si è indicato il numero di zeri tra 10^(n-1) + 1 e 10^n.
Sostituendo a n i valori da 1 a 3 si ha:
2-10, z(1) = 1
11-100, z(2) = 10
101-1.000, z(3) = 181
La soluzione al problema iniziale è quindi la seguente:
Z(3) = z(1) + z(2) + z(3) =
= 1 + 10 + 181 = 192
Con:
Z(n) = z(1) + z(2) + ... + z(n-1) + z(n)
