Supponiamo di voler calcolare il quadrato di un numero intero compreso tra 11 e 99 senza disporre di una calcolatrice e il più rapidamente possibile. Un ottimo metodo è quello di sfruttare le proprietà di un prodotto notevole chiamato quadrato del binomio. Questa proprietà ci dice che il quadrato della somma (differenza) di due termini è data dal quadrato del primo termine più il quadrato del secondo più (meno) il doppio prodotto dei due termini; in simboli:
(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2*a*b
(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b
Sulla base di ciò proviamo a calcolare il quadrato di 52 e quello di 39:
52^2 = (50+2)^2 =
= 50^2 + 2^2 + 2*50*2 =
= 2.500 + 4 + 200 = 2.704
39^2 = (40-1)^2 =
= 40^2 + 1^2 - 2*40*1 =
= 1.600 + 1 - 80 = 1.521
Come è facile intuire conviene utilizzare la formula della somma nel caso la cifra delle unità sia compresa tra 1 e 4, e quella della differenza per cifre unitarie tra 6 e 9; per quanto riguarda il 5 si possono scegliere entrambi i metodi ma di solito si preferisce il primo in quanto sommare è ritenuto più semplice di sottrarre.
Per numeri compresi tra 11 e 99 (i numeri fino a 10 e il 100 sono casi banali) si tratta dunque di fare un po' di esercizio mnenomico, ovvero ricordare i quadrati dei numeri 10, 20, 30, ..., 90, 100, che si ottengono dai quadrati dei numeri 1, 2, 3, ..., 9, 10 con l'aggiunta di due zeri finali:
10^2 = 100
20^2 = 400
30^2 = 900
40^2 = 1.600
50^2 = 2.500
60^2 = 3.600
70^2 = 4.900
80^2 = 6.400
90^2 = 8.100
100^2 = 10.000
