I metodi visti sin qui per elevare al quadrato un numero intero sono solo degli esempi, anche se molto efficaci; in realtà è possibile crearne molti altri a proprio piacimento. Qui voglio presentarne due.
Il primo si basa ancora una volta sul prodotto notevole del quadrato di un binomio. È molto utile per la quadratura degli interi tra 51 e 99 conoscendo i quadrati dei numeri tra 1 e 49. Si tratta di scrivere il numero da elevare al quadrato come somma di 50 e x, e da qui, sviluppando i termini, si ottiene:
(50 + x)^2 = 50^2 + x^2 + 2*50*x =
= 2.500 + x^2 + 100*x
Come si può notare, due dei tre elementi necessari al calcolo (2.500 e 100*x) sono estremamente semplici.
Ecco un'applicazione:
83^2 = (50 + 33)^2 =
= 50^2 + 33^2 + 100*33 =
= 2.500 + 1.089 + 3.300 = 6.889
Il secondo metodo è specifico per i numeri che terminano con 5. Numeri di questo tipo si possono scrivere come:
A = 10*a + 5
Dove a indica il numero costituito dalla cifre del numero iniziale a sinistra del 5 (ad esempio, se il numero è 325 allora a è 32).
Sviluppando al quadrato si ottiene:
A^2 = (10*a + 5)^2 =
= 100*a^2 + 25 + 2*10*a*5 =
= 100*a^2 + 100*a + 25
E racogliendo a fattor comune 100*a:
A^2 = 100*a*(a + 1) + 25
I passi sono dunque i seguenti: si calcola il prodotto a*(a + 1), poi lo si moltiplica per 100 (operazione elementare) e infine si aggiunge 25. Ma ciò implica un'ulteriore semplificazione perchè moltiplicare per 100 e aggiungere 25 può essere fatto in modo alternativo: anziché moltiplicare per 100 si considera a*(a + 1) come la parte sinistra (S) del risultato finale, a cui si giustappone semplicemente 25, la parte destra.
In simboli possiamo scrivere:
A^2 = S25
Vediamo tre applicazioni:
35^2 = (30 + 5)^2
a = 3
a + 1 = 4
S = 3*4 = 12
35^2 = 12S = 1.225
85^2 = (80 + 5)^2
a = 8
a + 1 = 9
S = 8*9 = 72
85^2 = 72S = 7.225
155^2 = (150 + 5)^2
a = 15
a + 1 = 16
S = 15*16 = 240
155^2 = 240S = 24.025
Questo criterio permette di calcolare piuttosto facilmente i quadrati dei numeri che terminano per 5 compresi nell'intervallo tra 5 e 995.
