Tra le difficoltà in cui incorrono molti ragazzini del secondo anno delle superiori ci sono le disequazioni di secondo grado. In particolare, nello scrivere la soluzione, sono in molti a fare confusione tra intervalli esterni e interni alle radici.
Si può eliminare del tutto questa difficoltà passando da un approccio algebrico a uno di geometria analitica. Ciò implica anticipare di un po' di mesi argomenti che di solito vengono affrontati al terzo anno, tuttavia è sufficiente fare una trattazione qualitativa senza scendere troppo nei dettagli. I docenti lungimiranti di solito sono favorevoli, gli altri si oppongono drasticamente, segnale che conviene proseguire nella lettura. Anche perché questo metodo ha due vantaggi: risolvere le difficoltà date dall'algebra e anticipare argomenti futuri.
Osserviamo innanzitutto le quattro possibili forme di una disequazione di secondo grado:
ax^2 + bx + c > 0
ax^2 + bx + c >= 0
ax^2 + bx + c < 0
ax^2 + bx + c <= 0
Il concetto da introdurre è quello di parabola, rappresentata dall'equazione:
y = ax^2 + bx + c
Di tale equazione, a questo livello della trattazione, è utile conoscere solo due cose:
(1) il segno del coefficiente a determina la concavità della curva (verso l'alto se a > 0, verso il basso se a < 0).
(2) il segno del delta dell'equazione associata alla disequazione iniziale determina il numero di intersezioni tra la parabola e l'asse x (in due punti distinti se è positivo, in due punti coincidenti se è nullo, in nessun punto se è negativo).
Le due informazioni precedenti permetto di fare un disegno qualitativo della parabola. A seconda del delta si avranno tre forme di parabola: se il delta è positivo la parabola interseca l'asse x (le ascisse di questi punti sono le due soluzioni dell'equazione associata), se il delta è nullo la parabola è tangente all'asse x (le due soluzioni dell'equazione associata sono infatti coincidenti), infine quando il delta è negativo la parabola è sempre sopra l'asse x (non ci sono intersezioni ovvero soluzioni reali).
Da quanto detto emerge evidente la relazione tra algebra e geometria analitica: le soluzioni di un'equazione di secondo grado (approccio algebrico) sono le ascisse dei punti di intersezione della parabola con l'asse x (approccio geometrico).
Come già accennato è molto importante capire che ai fini della risoluzione delle disequazioni di secondo grado è sufficiente saper disegnare le tre tipologie di parabole in modo qualitativo.
Vediamo ora come mettere in relazione parabole e disequazioni. Per esempio la disequazione ax^2 + bx + c > 0 si può interpretare come segue: determinare per quali valori di x la parabola y = ax^2 + bx + c giace sopra y = 0, dove quest'ultima altro non è che l'equazione dell'asse x.
Dunque, per riassumere i vari casi di disequazioni visti all'inizio possiamo rileggere le stesse disequazioni come:
parabola che sta sopra l'asse x
parabola che tocca o sta sopra l'asse x
parabola che sta sotto l'asse x
parabola che tocca o sta sotto l'asse x
A questo punto sappiamo leggere una disequazione algebrica come una relazione di posizione tra due curve geometrice, nello specifico una parabola e una retta.
La risoluzione di una disequazione di secondo grado è allora possibile agevolmente attraverso questi semplici passi:
(1) ci si mette nelle condizioni di avere il coefficiente a sempre positivo (parabola con concavità verso l'alto).
(2) si calcola il delta dell'equazione associata.
(3) in base al segno del delta si disegna qualitativamente la parabola (una delle tre forme viste prima: intersezione, tangenza, assenza di intersezione con l'asse x).
(4) in base al verso della disequazione si determina se la parabola deve giacere sopra o sotto l'asse x.
(5) si evidenziano i tratti di parabola che rispettano la disequazione.
(6) si evidenziano le ascisse dei tratti di parabola del punto precedente (questo equivale a proiettare la parabola sull'asse x).
(7) quanto trovato al punto precedente è la soluzione dell'equazione.
Nel giro di una decina di esercizi non ci sarà nemmeno più bisogno di disegnare le parabole su un foglio: basterà la loro rappresentazione mentale, e verrà immediato figurarsele così.
