Possiamo dimostrare la proprietà di questi numeri in modo abbastanza semplice. Innanzitutto conviene utilizzare una notazione che ci faciliterà il compito. Scriviamo:
p(1) = 16
p(2) = 1.156
p(3) = 111.556
p(4) = 11.115.556
...
Indichiamo inoltre:
A(1) = 1
A(2) = 11
A(3) = 111
A(4) = 1.111
...
Si può osservare che i generici p(i) possono essere riscritti come:
p(1) = A(1)*(10 + 5) + 1
p(2) = A(2)*(100 + 5) + 1
p(3) = A(3)*(1.000 + 5) +1
...
ovvero:
p(i) = A(i)*(10^i + 5) + 1
Osserviamo ora che:
A(1) = (10 - 1)/9
A(2) = (100 - 1)/9
A(3) = (1.000 - 1)/9
...
A(i) = (10^i - 1)/9
Sostituendo:
p(i) = ((10^i - 1)/9)*(10^i + 5) + 1
Da cui, facendo qualche calcolo, si perviene a:
p(i) = ((10^i + 2)/3)^2
Questa espressione può essere ulteriormente semplificata osservando che:
10^i = 9A(i) + 1
dunque:
p(i) = ((9A(i) + 3)/3)^2 =
= (3A(i) + 1)^2
