Il 14 Novembre avevo proposto un gioco matematico in cui si calcola il numero di volte necessarie a piegare un foglio di carta dello spessore di un millimetro affinché lo spessore finale sia paragonabile all'altezza del Monte Baldo. Ne avevamo dedotto 21 piegature. Avevamo anche visto come il problema fosse strettamente connesso agli esponenziali di base 2.
Potremmo ora chiederci come calcolare, senza l'uso della calcolatrice, numeri così grandi, almeno in forma approssimata.
Per fare questo sono necessari due semplici concetti.
Innanzitutto va esplicitata una semplice proprietà delle potenze: il prodotto di due potenze con la stessa base è pari a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.
Vediamola in simboli:
(a^x)*(a^y) = a^(x+y)
Per esempio:
(5^2)*(5^11) = 5^13
Il secondo elemento è un'utile approssimazione valida per le potenze di 2: 2^10 è circa uguale a 10^3, infatti 2^10 (che fa 1.024) è molto vicino a 10^3 (che fa 1.000).
In simboli si può indicare questo risultato così:
2^10 ~ 10^3
Probabilmente molti sanno già, o si sono accorti, che queste approssimazioni sono usate di continuo nel mondo dell'informatica, dei computer e di internet (tipicamente quando si parla di megabytes, gigabytes, ecc.).
Sulla base di queste informazioni siamo ora in grado di fornire un calcolo approssimato, per esempio, di 2^23, il numero di piegature nel gioco del foglietto di carta per arrivare al Monte Everest.
Scomponiamo 2^23 come segue:
2^23 = 2^(10 + 10 + 3)
Applichiamo la proprietà delle potenze vista sopra:
2^23 = (2^10)*(2^10)*2^3
E ora sostituiamo 2^10 con 10^3:
2^23 ~ (10^3)*(10^3)*8
Riapplicando la proprietà della potenze si ha infine:
2^23 ~ (10^6)*8 = 8.000.000
Ricordiamo che avevamo usato come unità di misura i millimetri, quindi dividendo per 1.000, si ottengono 8.000 metri.
Il vero valore di 2^23 è 8.388.608.
Per uno scopo in cui sia necessario avere un'idea dell'ordine di grandezza di un numero e non del suo valore esatto l'approssimazione di cui sopra può ritenersi un buon risultato.
