Super-polpette per super-formica al gioco dell'oca.
Consideriamo un insetto immaginario chiamato super-formica. In condizioni normali questo è l'insetto più lento del mondo: la sua velocità è pari a un nanometro al secondo (il nanometro è la miliardesima parte del metro). Uno scienziato ha però inventato delle super-polpettine miniaturizzate; ciascuna di queste, se mangiate dalla super-formica, ha la straordinaria proprietà di raddoppiare la sua velocità.
Si immagini ora di posizionare la super-formica sulla prima casella del tabellone del gioco dell'oca; su ognuna delle 62 caselle restanti viene messa una super-polpetta. La domanda è: qual è la velocità della formica arrivata in fondo al tabellone?
L'impostazione del problema dovrebbe essere familiare.
La velocità iniziale v(0) è data da:
v(0) = 10^(-9) m/s
E per la generica posizione n si ha:
v(n) = (2^(n-1))*10^(-9)
Dunque in fondo al tabellone la velocità della super-formica si calcola come:
v(63) = (2^62)*10^(-9) =
= 4.611.686.018,43 m/s
Ma questo numero, che ha una validità matematica, non ha alcun riscontro reale nel mondo della fisica, per il quale la velocità massima raggiungibile è la velocità della luce (pari, nel vuoto, a 299.792.458 m/s). v(63) è oltre 15 volte la velocità della luce e dunque la soluzione non è accettabile. Qualcuno potrebbe dire che nemmeno la super-formica e le super-polpette sono reali; vero, ma se lo fossero non potrebbero sottrarsi alle leggi della fisica.
In conclusione la formica arriverebbe nella casella 59 con una velocità di circa 144.115.188 m/s, mangerebbe la polpettina e ripartirebbe con una velocità doppia di circa 288.230.376 m/s; essendo questa circa il 96% della velocità della luce le successive polpettine perderebbero la loro proprietà miracolosa e questa è anche la velocità con cui la formica giungerebbe in fondo.
Si può notare come l'esito finale dipenda fortemente dalla velocità iniziale: per esempio una formica 1.000 volte più veloce (un micron al secondo) raggiungerebbe la sua velocità massima (94% di quella della luce) una volta mangiata la polpettina in casella 49, mentre una formica 1.000 volte più lenta (un millesimo di nanometro al secondo) arriverebbe in fondo al gioco con una velocità pari solo al 1,54% di quella della luce.
Un aspetto collegato a questo gioco è il calcolo del tempo di percorrenza delle caselle. Per semplicità immaginiamo caselle quadrate di 2 centimetri di lato, immaginiamo che le polpettine siano esattamente in centro, che la formica sia posizionata nel centro della prima casella e che lo spostamento avvenga in linea retta dal centro di una casella a quello della successiva senza tener conto della curvatura delle caselle (solitamente disposte a spirale); in questo modo la formica avanza linearmente da una casella all'altra percorrendo esattamente 2 cm.
Si parte dalla formula della velocità che chiama in causa spazio e tempo:
v = s/t
Da cui si ricava il tempo:
t = s/v
Ovviamente tutte le grandezze devono essere espresse in unità di misura coerenti, dunque i centimetri vanno convertiti in metri.
Il primo tratto di percorso viene calcolato così:
t(0) = 2*(10^(-2))/v(0) =
= 2*(10^(-2))/(10^(-9)) =
= 2*10^7 =
= 20.000.000 s =
= 231,48 giorni
E per i successivi si generalizza a:
t(n) = 2*(10^(-2))/v(n) =
= 2*(10^(-2))/((2^(n-1))*10^(-9)) =
= 2*(10^7)/(2^(n-1))
Ad esempio:
t(10) = 39.062,50 s =
= 10,85 ore
t(15) = 1.220,70 s =
= 20,35 minuti
t(20) = 38,15 s
t(25) = 1,19 s
