Ci si può divertire a creare una gran moltitudine di esempi che si appoggiano allo stesso schema dell'esponenziale in base 2 (o anche in una base diversa); fantasia e creatività possono correre quasi senza limiti.
In questo post e nei successivi propongo una breve serie di idee.
Scacchiera e monete da 1 eurocent.
Immaginiamo una scacchiera tradizionale 8*8 e supponiamo di appoggiare una moneta da un cent sulla casella in basso a sinistra (ma in realtà non importa dove). Se la regola consiste nel passare da una casella alla successiva raddoppiando il numero di monete dello stesso taglio, qual è l'altezza della colonna di monetine e il suo peso una volta occupata l'ultima posizione disponibile?
I dati di partenza sono il peso della moneta (2,3 grammi) e il suo spessore (1,67 millimetri).
Indichiamo con p(n) il peso e con s(n) lo spessore della moneta nella generica cella n.
Nella fase iniziale (n = 1) si ha:
p(1) = (2,3)*10^(-3) kg
s(1) = (1,67)*10^(-3) m
Dopo il primo spostamento peso e spessore raddoppiano:
p(2) = 2*(2,3)*10^(-3)
s(2) = 2*(1,67)*10^(-3)
Al secondo spostamento (terza celletta) entrambe le grandezze quadruplicano:
p(3) = (2^2)*(2,3)*10^(-3)
s(3) = (2^2)*(1,67)*10^(-3)
La regola per la posizione n-esima è:
p(n) = (2^(n-1))*(2,3)*10^(-3)
s(n) = (2^(n-1))*(1,67)*10^(-3)
Se ipotizziamo di procedere in linea retta dall'ultima casella in basso a sinistra all'ultima casella in basso a destra avremo occupato una fila di 8 caselle con i seguenti risultati:
p(8) = (2^7)*(2,3)*10^(-3)
s(8) = (2^7)*(1,67)*10^(-3)
p(8) = 0,2944 kg
s(8) = 0,2138 m
Numeri ancora modesti. Il passo successivo potrebbe essere quello di procedere in verticale dal basso verso l'alto e arrivare così nella casella in alto a destra della scacchiera con i seguenti valori:
p(15) = (2^14)*(2,3)*10^(-3)
s(15) = (2^14)*(1,67)*10^(-3)
p(15) = 37,68 kg
s(15) = 27,36 m
A questo punto è evidente che l'unica possibilità di giocare questo gioco è quella di trovarsi all'aperto, a meno che non conosciate qualcuno che abbia una casa con un soffitto alto almeno 28 metri.
Procedendo in orizzontale verso sinistra e poi in verticale verso il basso, in modo da completare la cornice esterna della scacchiera, si arriva a questo risultato:
p(28) = (2^27)*(2,3)*10^(-3)
s(28) = (2^27)*(1,67)*10^(-3)
p(28) = 308.700,77 kg
s(28) = 224.143,61 m
Inutile dire che nessuna scacchiera sarebbe in grado di sopportare un peso del genere, inoltre le monetine hanno già superato i 224 km di altezza, raggiungendo un valore pari a 25,34 Everest impilati l'uno sull'altro (secondo le ultime rilevazioni l'altezza dell'Everest è di 8.844,43 metri, senza contare la copertura di ghiaccio).
Ma non siamo neppure a metà del percorso. Il valore finale del nostro gioco è il seguente:
p(64) = (2^63)*(2,3)*10^(-3)
s(64) = (2^63)*(1,67)*10^(-3)
Questi numeri sono così grandi che l'unico modo per fornirne un'idea ragionevole è quella di operare un confronto con altre grandezze.
Per esempio il peso p(64) delle monetine è pari a quello di oltre 141 miliardi di balenottere azzurre (ognuna delle quali pesa mediamente 150.000 kg), mentre s(64) è 103.030 volte la distanza media tra la Terra e il Sole.
Curiosità: un raggio di luce, per percorrere la torre di monetine in posizione p(64) dal basso all'alto (o viceversa) impiegherebbe quasi 595 giorni!
