La formula della somma parziale della progressione geometrica può essere applicata ad alcuni esempi trattati su queste pagine.
Nel post "Magia matematica (10.3)" avevo presentato il caso della moltiplicazione dei virus. Si era detto che partendo da x virus il giorno 1 si poteva arrivare, per il giorno x, a x*2^(n-1) virus.
Consideriamo, per esempio, di partire da un solo virus e vediamo cosa succede il giorno 15. Indichiamo con v(n) il numero di virus il generico giorno n.
v(1) = 1*2^0 = 1
v(2) = 1*2^1 = 2
v(3) = 1*2^2 = 4
...
v(14) = 1*2^13 = 8.192
v(15) = 1*2^14 = 16.384
Scritta in questo modo si capisce che è una progressione di ragione 2 e fattore di scala 1. La somma di tutti i virus al quindicesimo giorno è data da:
S(14) = 1*(1 - 2^15)/(1 - 2) =
= (1 - 32.768)/(-1) = 32.767
Si notino due cose: si è utilizzato S(14) e non S(15) perché la formula della somma parziale era stata data per valori che partono da 0 (dunque contando da zero il quindicesimo numero è 14); il valore trovato ha significato reale solo sotto l'ipotesi che nessuno dei virus nato nei giorni precedenti sia nel frattempo morto.
Nel post "Magia matematica (10.4)" avevo invece mostrato come mettendo una monetina da un eurocent su una scacchiera e raddoppinadone il valore da una casella all'altra si raggiungessero quasi subito valori molto elevati.
Partendo da questo esempio supponiamo che dobbiate riscuotere un pagamento per una prestazione svolta e che vi accordiate per farvi pagare dal vostro committente in base al gioco della scacchiera, ma utilizzando una scacchiera 4*4 (un quarto di una scacchiera normale).
Indichiamo con p(n) la quota di pagamento in euro per la casella n.
p(1) = 0,01*2^0 = 0,01
p(2) = 0,01*2^1 = 0,02
p(3) = 0,01*2^2 = 0,04
...
p(15) = 0,01*2^14 = 163,84
p(16) = 0,01*2^15 = 326,67
Questa è una progressione di ragione 2 e fattore di scala 0,01. La somma percepita è data da:
S(15) = 0,01*(1 - 2^16)/(1 - 2) =
= 0,01*(1 - 65.536)/(-1) =
= 655,35
Quindi partendo da un centesimo si portano a casa poco più di 655 euro, non male!
Cambiando la cifra di partenza il risultato cambia in base al fattore di scala. Per esempio, partendo da una moneta da dieci cent si arriva a un totale di 6.553,5 euro, partendo da una moneta da un euro si arriva a 65.535 e così via.
La ragione della progressione è molto importante: giocando al raddoppio della cifra si è visto come partendo da un centesimo si possano portare a casa 655,35 euro, ma se la regola fosse quella di passare da una casella all'altra aumentando la cifra del 50% (anziché del 100%) il risultato finale sarebbe molto diverso. In questo caso si avrebbe una progressione geometrica di ragione 3/2 = 1,5 e fattore di scala 0,01, dunque il guadagno totale sarebbe:
S(15) = 0,01*(1 - (3/2)^16)/(1 - (3/2)) =
= 0,01*(1 - 656,84)/(-0,5) =
= 13,12
In pratica una ragione 1,5 porta a guadagnare il 2% di quanto si ottiene usando la ragione 2.
Cambiando il fattore di scala (partendo da una moneta da un euro) si avrebbe:
S(15) = 1*(1 - (3/2)^16)/(1 - (3/2)) =
= 1*(1 - 656,84)/(-0,5) = 1.311,68
Che è sempre il 2% di quanto si sarebbe guadagnato usando la ragione 2.
