Per illustrare ancor meglio il concetto di somma di una progressione geometrica propongo un piccolo gioco che potrei chiamare "obelisco a base quadrata".
Si tratta di costruire un obelisco in pietra con una base quadrata su cui poggiano altri elementi quadrati di dimensioni via via ridotte; più esattamente l'elemento di base è un parallelepipedo, a sua volta di base quadrata, con lato pari a 10 metri e altezza di 30 centimetri. L'elemento che poggia sulla base è identico al primo ma le sue dimensioni sono ridotte: il nuovo lato si ottiene congiungendo i punti medi dei lati dell'elemento sottostante, mentre l'altezza rimane invariata. Il secondo elemento è dunque un nuovo parallelepipedo a base quadrata ruotato rispetto al sottostante di 45°. Il terzo avrà dimensioni ridotte secondo il medesimo criterio e dunque, dopo una nuova rotazione a 45° risulterà parallelo al primo, e così via. Si procede in questo modo sino a raggiungere un'altezza di tre metri.
Verrà poi chiamato un decoratore che avrà il compito di scolpire lungo la fascia dei vari piani dell'obelisco una specie di storia sull'esempio di quanto è stato fatto in passato con la Colonna Traiana.
A questo punto ci poniamo quattro domande: (1) quanto tempo impiegherà il decoratore a completare il suo lavoro sapendo che gli occorre circa un'ora per scolpire un tratto quadrato di 30 centimetri di lato; (2) qual è il costo del decoratore sapendo che il suo compenso orario è di 55 euro; (3) qual è il peso dell'intera opera sapendo che il peso specifico della pietra utilizzata è di 2.700 chilogrammi al metro cubo; (4) qual è il costo di posa dell'obelisco sapendo che il costo per unità di superficie è 38 euro.
La prima cosa da osservare è che, passando da un livello a quello superiore, il lato del quadrato diminuisce secondo un rapporto specifico: (1/2)^(1/2).
In secondo luogo, in base ai dati, si comprende che l'obelisco è costituito da dieci piani.
Indicando con l(n) la misura del lato al piano n possiamo quindi scrivere:
l(0) = 10*[(1/2)^(1/2)]^0
l(1) = 10*[(1/2)^(1/2)]^1
l(2) = 10*[(1/2)^(1/2)]^2
...
l(9) = 10*[(1/2)^(1/2)]^9
Si tratta di una progressione geometrica di ragione (1/2)^(1^2) e fattore di scala 10. In questo caso, per semplicità, abbiamo fatto partire n da zero anziché da uno.
Le domande (1) e (2) rendono indispensabile la conoscenza della lunghezza del tratto decorabile dell'obelisco; per ogni livello il tratto decorabile è pari al perimetro del quadrato che lo costituisce. E, dato che in un quadrato il perimetro è quattro volte la lunghezza di un lato, dalla progressione precedente si passa a quella dei perimetri moltiplicando il fattore di scala per 4:
p(0) = 40*[(1/2)^(1/2)]^0
p(1) = 40*[(1/2)^(1/2)]^1
p(2) = 40*[(1/2)^(1/2)]^2
...
p(9) = 40*[(1/2)^(1/2)]^9
Sommando i dieci termini qui sopra si ottiene:
S(9) = 40*{1-[(1/2)^(1/2)]^10}/[1-(1/2)^(1/2)] =
= 40*(1 - 0,031250)/(1 - 0,707107) =
= 132,30
Guardando meglio ai valori da l(0) a l(9) (o equivalentemente da p(0) a p(9)) si può notare un'altra caratteristica di questa successione: passando dal primo livello al terzo, dal terzo al quinto, dal quinto al settimo, ecc., e passando dal secondo al quarto, dal quarto al sesto, ecc. i lati e i perimetri si dimezzano.
Possiamo ora rispondere al primo quesisto. Sappiamo che il decoratore impiega un'ora per lavorare 30 centimetri lineari di superficie (cioè 0,3 metri), dunque basta dividere S(9) per questo valore e così si ottiene 441 ore. Se poi ipotizziamo che l'orario medio lavorativo settimanale sia di 40 ore ne deduciamo che al decoratore occorrono circa 11 settimane.
La seconda domanda è una semplice conseguenza della prima: il compenso da corrispondere al decoratore è il prodotto della sua retribuzione oraria per il numero di ore: 55*441 = 24.255 euro.
Per rispondere agli altri due quesiti è necessario calcolare il volume dell'obelisco e la sua superficie d'appoggio.
Osserviamo intanto che i blocchi di pietra hanno tutti altezza costante e questo ci permette di ricondurre il calcolo dei volumi a quello delle superfici di appoggio.
L'area di un quadrato è pari al quadrato della misura del suo lato, possiamo quindi scrivere:
A(0) = [l(0)]^2 = {l(0)*[(1/2)^(1/2)]^0}^2
A(1) = [l(1)]^2 = {l(0)*[(1/2)^(1/2)]^1}^2
A(2) = [l(2)]^2 = {l(0)*[(1/2)^(1/2)]^2}^2
...
A(9) = [l(9)]^2 = {l(0)*[(1/2)^(1/2)]^9}^2
Dobbiamo ora ricordare tre cose: (1) la potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze: (a*b)^c = (a^c)*(b^c); in pratica l'esponente viene "spalmato" su entrambi i termini che costituiscono la base; (2) una potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti: (a^b)^c = a^(b*c); (3) nel punto precedente, per la proprietà commutativa del prodotto, non importa in che ordine considero gli esponenti; in altri termini (a^b)^c è equivalente a (a^c)^b.
Con queste nozioni la successione delle aree si può riscrivere come:
A(0) = {[l(0)]^2}*{[(1/2)^(1/2)]^2}^0
A(1) = {[l(0)]^2}*{[(1/2)^(1/2)]^2}^1
A(2) = {[l(0)]^2}*{[(1/2)^(1/2)]^2}^2
...
A(9) = {[l(0)]^2}*{[(1/2)^(1/2)]^2}^9
Da cui:
A(0) = {[l(0)]^2}*(1/2)^0
A(1) = {[l(0)]^2}*(1/2)^1
A(2) = {[l(0)]^2}*(1/2)^2
...
A(9) = {[l(0)]^2}*(1/2)^9
E dato che l(0) = 10:
A(0) = 100*(1/2)^0
A(1) = 100*(1/2)^1
A(2) = 100*(1/2)^2
...
A(9) = 100*(1/2)^9
Che è una progressione geometrica di ragione 1/2 e fattore di scala 100. La superficie totale di appoggio T(9) si calcola come:
T(9) = 100*[1 - (1/2)^10)]/(1 - 1/2) =
= 199,80 metri quadrati
La successione dice anche che le superfici si dimezzano man mano che si sale di livello. Si noti che la superficie di appoggio è la superficie inferiore di ciascun blocco di pietra e non la superficie totale del blocco (quest'ultima è infatti data dalla somma di sei componenti: la superficie inferiore, quella superiore, uguale alla precedente, e le quattro superfici laterali uguali tra loro).
Il volume può ora calcolarsi come superficie totale di appoggio per l'altezza: 199,80*0,3 = 59,94 metri cubi.
Per la risoluzione del terzo quesito basta moltiplicare il peso sepcifico della pietra per il volume: 2.700*59,94 = 161.841,80 kg.
Infine il costo di posa, quarto quesito, si ottiene moltiplicando la superficie di appoggio totale per il costo unitario superficiale: 199,80*38 = 7.592,58 euro
