La bontà dell'approssimazione 2^10 ~ 10^3 diminusce all'aumentare del numero 2^n che si vuole approssimare, inoltre si tratta sempre di un'approssimazione per difetto.
Di seguito riporto un elenco indicativo della sottostima percentuale del metodo:
da 2^10 a 2^19: -2,34%
da 2^20 a 2^29: -4,67%
da 2^30 a 2^39: -6,87%
da 2^40 a 2^49: -9,05%
da 2^50 a 2^59: -11,18%
Per esempio:
2^15 = 32.768
2^15 ~ (2^5)*(10^3) = 32.000
E 32.000 è inferiore a 32.768 del 2,34%.
In generale l'approssimazione di 2^n si può scrivere come:
2^n ~ (2^n)*(125/128)^[n/10]
Dove le parentesi quadre indicano la parte intera di quanto contenuto al loro interno e il rapporto 125/128 è la riduzione ai minimi termini della frazione 1.000/1.024 il cui valore è 0,9765625.
Se chiamiamo A(n) il valore approssimato di 2^n e V(n) il suo valore vero ne deduciamo che la sottostima percentuale P(n) è data da:
P(n) = (A(n) - V(n))/V(n) =
= A(n)/V(n) - 1
La formula qui sopra non rappresenta nulla di particolare: è il modo ordinario di valutare la differenza percentuale tra due quantità (per esempio si opera esattamente in questo modo quando si vuole confrontare il guadagno o la perdita percentuale tra il prezzo di vendita e il prezzo d'acquisto di una certa azione, la crescita o la decrescita del fatturato di una certa azienda, piuttosto che del PIL di un certo Stato, così come di qualunque altra cosa).
Facendo le sostituzioni del caso si ottiene facilmente:
P(n) = (125/128)^[n/10] - 1
Che fornisce i valori già riportati sopra nel caso di numeri da 2^10 a 2^59. Ovviamente la formula vale anche da 2^60 in avanti.
